Considere um sistema massa-mola-amortecedor com
submetido a uma força externa harmônica de amplitude 0.492 N .
a) Calcule a amplitude em regime p permanente se
.
b) Calcule a amplitude em regime p permanente se a frequência da força externa mudar para
.
c) Calcule a variação das amplitudes em porcentagem e explique a diferença entre elas.
a) Calcule a amplitude em regime p permanente se
b) Calcule a amplitude em regime p permanente se a frequência da força externa mudar para
c) Calcule a variação das amplitudes em porcentagem e explique a diferença entre elas.
Passo 1
O enunciado pede a amplitude em regime permanente (amplitude do movimento forçado estável) de um sistema massa-mola-amortecedor sujeito a uma força harmônica de amplitude
para duas frequências diferentes, e depois a variação percentual entre essas amplitudes.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Perguntas:
- Calcular a amplitude em regime permanente para
. - Calcular a amplitude em regime permanente para
. - Calcular a variação das amplitudes em porcentagem e explicar a diferença entre elas.
Passo 2
Vamos apresentar a fórmula que usamos (e explicar o que significa). Para um sistema linear amortecido forçado por uma força harmônica
, a equação do movimento é
Em regime permanente (solução particular estacionária) a resposta tem a forma
onde
é a amplitude que queremos e
é o deslocamento de fase. A fórmula bem conhecida para a amplitude
é
Explicando cada termo:
-
é a amplitude da força externa (em newtons). -
é a rigidez da mola (N/m). -
é a massa (kg). -
é a frequência angular da força (rad/s). -
é o coeficiente de amortecimento (kg/s).
O denominador é a magnitude da impedância dinâmica do sistema: quandoé pequeno (próximo de zero), a amplitude cresce; quando é grande (amortecimento grande ou frequência grande), a amplitude diminui.
Passo 3
Cálculo para
.
Primeiro calculo intermediário
:
Agora
:
Calculo de
:
Termos ao quadrado do denominador:
Soma e raíz:
Amplitude:
Observação prática rápida: como
ficou muito pequeno aqui (
), o denominador é dominado por
e podemos aproximar
, o que dá o mesmo valor em primeira aproximação.
Passo 4
Cálculo para
.
Primeiro
:
Agora
:
Calculo de
:
Termos ao quadrado do denominador:
Soma e raíz:
Amplitude:
Passo 5
Cálculo da variação percentual e explicação física.
Escolho aqui calcular quanto maior é a amplitude em
em relação a
; ou seja, variação percentual relativa à amplitude em
. A fórmula que uso é
Plugando os valores:
Explicação física (em linguagem leve): a frequência natural do sistema sem amortecimento é
Ou seja,
está praticamente em ressonância com a frequência natural
. Nessa faixa, se o amortecimento for pequeno (aqui
é pequeno), a amplitude fica muito maior. Para
estamos fora da ressonância e o termo
é grande (
), então a amplitude cai muito. É por isso que a diferença é tão grande: o sistema está praticamente em ressonância em
, gerando uma amplitude muito maior.
Dica rápida para prova: identifique rapidamente
. Se a frequência de excitação estiver próxima de
e o amortecimento for pequeno, espere uma amplitude muito maior; caso contrário use a fórmula direta mostrada.
Resposta
(a)
(b)
(c) A amplitude em é aproximadamente
maior que em
.
(b)
(c) A amplitude em