Considere um sistema massa-mola-amortecedor com \mathrm{k}=857.8 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, \mathrm{m}= 49.2 \times 10-3 \mathrm{~kg}, \mathrm{c}=0.11 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} submetido a uma força externa harmônica de amplitude 0.492 N .
a) Calcule a amplitude em regime p permanente se \omega=132 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.
b) Calcule a amplitude em regime p permanente se a frequência da força externa mudar para \omega=125 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.
c) Calcule a variação das amplitudes em porcentagem e explique a diferença entre elas.

Passo 1

O enunciado pede a amplitude em regime permanente (amplitude do movimento forçado estável) de um sistema massa-mola-amortecedor sujeito a uma força harmônica de amplitude 0,492\\ \mathrm{N} para duas frequências diferentes, e depois a variação percentual entre essas amplitudes.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
k = 857{,}8\\ \mathrm{N/m}
m = 49{,}2\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg} = 0{,}0492\\ \mathrm{kg}
c = 0{,}11\\ \mathrm{kg/s}
F_0 = 0{,}492\\ \mathrm{N}
Perguntas:
  1. Calcular a amplitude em regime permanente para \omega = 132\\ \mathrm{rad/s}.
  2. Calcular a amplitude em regime permanente para \omega = 125\\ \mathrm{rad/s}.
  3. Calcular a variação das amplitudes em porcentagem e explicar a diferença entre elas.

Passo 2

Vamos apresentar a fórmula que usamos (e explicar o que significa). Para um sistema linear amortecido forçado por uma força harmônica F(t)=F_0\cos(\omega t), a equação do movimento é
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx = F_0\cos(\omega t).
Em regime permanente (solução particular estacionária) a resposta tem a forma
x(t)=X\cos(\omega t - \varphi),
onde X é a amplitude que queremos e \varphi é o deslocamento de fase. A fórmula bem conhecida para a amplitude X é
X=\dfrac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}.
Explicando cada termo:
  • F_0 é a amplitude da força externa (em newtons).
  • k é a rigidez da mola (N/m).
  • m é a massa (kg).
  • \omega é a frequência angular da força (rad/s).
  • c é o coeficiente de amortecimento (kg/s).
    O denominador é a magnitude da impedância dinâmica do sistema: quando k-m\omega^2 é pequeno (próximo de zero), a amplitude cresce; quando c\omega é grande (amortecimento grande ou frequência grande), a amplitude diminui.

Passo 3

Cálculo para \omega=132\\ \mathrm{rad/s}.
Primeiro calculo intermediário m\omega^2:
\omega^2 = 132^2 = 17424
m\omega^2 = 0{,}0492\cdot 17424 = 857{,}2608
Agora k - m\omega^2:
k - m\omega^2 = 857{,}8 - 857{,}2608 = 0{,}5392
Calculo de c\omega:
c\omega = 0{,}11\cdot 132 = 14{,}52
Termos ao quadrado do denominador:
(k-m\omega^2)^2 = 0{,}5392^2 = 0{,}29075664
(c\omega)^2 = 14{,}52^2 = 210{,}7104
Soma e raíz:
\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2} = \sqrt{0{,}29075664 + 210{,}7104} = \sqrt{211{,}00115664}\approx 14{,}5259
Amplitude:
X_{132} = \dfrac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}} = \dfrac{0{,}492}{14{,}5259}\approx 0{,}03388\\ \mathrm{m}.
Observação prática rápida: como k-m\omega^2 ficou muito pequeno aqui ( \approx 0{,}54), o denominador é dominado por c\omega e podemos aproximar X\approx F_0/(c\omega), o que dá o mesmo valor em primeira aproximação.

Passo 4

Cálculo para \omega=125\\ \mathrm{rad/s}.
Primeiro m\omega^2:
\omega^2 = 125^2 = 15625
m\omega^2 = 0{,}0492\cdot 15625 = 768{,}75
Agora k - m\omega^2:
k - m\omega^2 = 857{,}8 - 768{,}75 = 89{,}05
Calculo de c\omega:
c\omega = 0{,}11\cdot 125 = 13{,}75
Termos ao quadrado do denominador:
(k-m\omega^2)^2 = 89{,}05^2 = 7929{,}9025
(c\omega)^2 = 13{,}75^2 = 189{,}0625
Soma e raíz:
\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2} = \sqrt{7929{,}9025 + 189{,}0625} = \sqrt{8118{,}965}\approx 90{,}109
Amplitude:
X_{125} = \dfrac{0{,}492}{90{,}109}\approx 0{,}005459\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo da variação percentual e explicação física.
Escolho aqui calcular quanto maior é a amplitude em \omega=132 em relação a \omega=125; ou seja, variação percentual relativa à amplitude em \omega=125. A fórmula que uso é
\%\\ \text{aumento} = \dfrac{X_{132}-X_{125}}{X_{125}}\times 100\%.
Plugando os valores:
X_{132}-X_{125} = 0{,}03388 - 0{,}005459 = 0{,}028421
\%\\ \text{aumento} \approx \dfrac{0{,}028421}{0{,}005459}\times 100\% \approx 520{,}8\%.
Explicação física (em linguagem leve): a frequência natural do sistema sem amortecimento é
\omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}} \approx \sqrt{\dfrac{857{,}8}{0{,}0492}}\approx 132{,}04\\ \mathrm{rad/s}.
Ou seja, \omega=132\\ \mathrm{rad/s} está praticamente em ressonância com a frequência natural \omega_n. Nessa faixa, se o amortecimento for pequeno (aqui c=0{,}11 é pequeno), a amplitude fica muito maior. Para \omega=125\\ \mathrm{rad/s} estamos fora da ressonância e o termo k-m\omega^2 é grande ( 89{,}05), então a amplitude cai muito. É por isso que a diferença é tão grande: o sistema está praticamente em ressonância em \omega=132, gerando uma amplitude muito maior.
Dica rápida para prova: identifique rapidamente \omega_n=\sqrt{k/m}. Se a frequência de excitação estiver próxima de \omega_n e o amortecimento for pequeno, espere uma amplitude muito maior; caso contrário use a fórmula direta mostrada.

Resposta

(a) X_{132}\approx 0{,}03388\\ \mathrm{m}
(b) X_{125}\approx 0{,}005459\\ \mathrm{m}
(c) A amplitude em \omega=132\\ \mathrm{rad/s} é aproximadamente 520{,}8\% maior que em \omega=125\\ \mathrm{rad/s}.

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