(3) Um corpo está sujeito a um potencial unidimensional, U(x)=U_{0}\left[2(x / a)^{2}-(x / a)\right.
x>0. Calcule a força gerada por esse potencial, e os pontos de equilírio.

Passo 1

O enunciado dá o potencial unidimensional
U(x)=U_{0}\left[2\left(\frac{x}{a}\right)^{2}-\left(\frac{x}{a}\right)\right],\qquad x>0.
As perguntas são:
  1. Calcular a força gerada por esse potencial.
  2. Determinar os pontos de equilíbrio (onde a força é nula) — e, se for útil, comentar a estabilidade desses pontos.
Informações dadas: \,U_{0} e a são constantes (o enunciado não especifica sinal; vou manter isso explícito ao discutir estabilidade). O domínio importante é x>0.

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida e direta): para um potencial unidimensional U(x) associado a uma força conservativa, a força é dada pela derivada negativa do potencial:
F(x) = -\frac{dU}{dx}.
Por que isso? Intuitivamente, a força aponta na direção em que o potencial diminui mais rápido — o sinal negativo garante que um ponto onde U decresce com x corresponde a uma força positiva (empurrando para aumentar x), e vice-versa. Essa é uma relação padrão em mecânica clássica para forças conservativas.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de U(x) com cuidado, passo a passo. Para simplificar a derivação, defino a variável auxiliar
y=\frac{x}{a}.
Então U(x)=U_{0}\bigl(2y^{2}-y\bigr) com y=y(x). Temos \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{a}.
Agora calculemos \displaystyle \frac{dU}{dx} usando a regra da cadeia:
\frac{dU}{dx}=U_{0}\,\frac{d}{dx}\bigl(2y^{2}-y\bigr) =U_{0}\bigl(4y-1\bigr)\frac{dy}{dx}.
Substituindo \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{a} e voltando para x (ou seja, y=\frac{x}{a}):
\frac{dU}{dx}=U_{0}\cdot\frac{1}{a}\left(4\frac{x}{a}-1\right).
Aplicando a definição da força:
F(x)=-\frac{dU}{dx}=-U_{0}\cdot\frac{1}{a}\left(4\frac{x}{a}-1\right).
Podemos reescrever de forma mais agradável:
F(x)=\frac{U_{0}}{a}\left(1-4\frac{x}{a}\right).
Outra forma equivalente, expandida, é
F(x)=\frac{U_{0}}{a}-\frac{4U_{0}}{a^{2}}\,x.

Passo 4

Pontos de equilíbrio são pontos onde a força é zero, ou seja, resolver
F(x)=0.
Usando a forma \displaystyle F(x)=\frac{U_{0}}{a}\left(1-4\frac{x}{a}\right), igualando a zero:
\frac{U_{0}}{a}\left(1-4\frac{x}{a}\right)=0.
Como \displaystyle \frac{U_{0}}{a} é constante (se U_{0}=0 o potencial é trivialmente zero e não há forças; assumimos U_{0}\neq0 e a\neq0), fica
1-4\frac{x}{a}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{x}{a}=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{a}{4}.
Verificação de domínio: o enunciado pede x>0. Portanto esse ponto pertence ao domínio se e somente se a/4>0, isto é, se a>0. Se a<0, então x=a/4<0 e não estaria no domínio dado; nesse caso não haveria ponto de equilíbrio em x>0 (ou o enunciado implicaria que a>0). Geralmente em problemas físicos toma‑se a>0.

Passo 5

Teste de estabilidade (útil para a prova): usamos a segunda derivada do potencial. Regra: em x_{0} ponto de equilíbrio,
  • se \displaystyle \frac{d^{2}U}{dx^{2}}\bigg|_{x_{0}}>0 então o equilíbrio é estável (mínimo de U);
  • se \displaystyle \frac{d^{2}U}{dx^{2}}\bigg|_{x_{0}}<0 então é instável (máximo de U);
  • se =0 é caso neutro/indeterminado.
Calculemos \displaystyle \frac{d^{2}U}{dx^{2}}. Já temos \displaystyle \frac{dU}{dx}=U_{0}\cdot\frac{1}{a}\left(4\frac{x}{a}-1\right). Derivando novamente:
\frac{d^{2}U}{dx^{2}}=U_{0}\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac{4}{a}=\frac{4U_{0}}{a^{2}}.
Note que é constante (não depende de x). Assim no ponto x=\dfrac{a}{4} temos \displaystyle \frac{d^{2}U}{dx^{2}}=\dfrac{4U_{0}}{a^{2}}. Consequências:
  • se U_{0}>0 (e a\neq0), então \dfrac{4U_{0}}{a^{2}}>0 e o equilíbrio em x=\dfrac{a}{4} é estável (mínimo de U);
  • se U_{0}<0, então é instável (máximo de U).
    Essas conclusões usam que a^{2}>0 sempre que a\neq0.

Resposta

F(x)=\dfrac{U_{0}}{a}\!\left(1-4\dfrac{x}{a}\right)=\dfrac{U_{0}}{a}-\dfrac{4U_{0}}{a^{2}}\,x.
Ponto de equilíbrio: x=\dfrac{a}{4} (pertence a x>0 se a>0).
Estabilidade: o equilíbrio é estável se U_{0}>0 e instável se U_{0}<0, pois \dfrac{d^{2}U}{dx^{2}}=\dfrac{4U_{0}}{a^{2}}.

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