Se a equação p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}=0 possui n soluções reais distintas, então quantas soluções distintas possui a equação p^{\prime}(x)=0 ?
Dica: Use o Teorema de Rolle.

Passo 1

O enunciado dá um polinômio
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}
de grau n que possui n raízes reais distintas. Queremos saber quantas raízes distintas tem a derivada p'(x)=0. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Rolle, que afirma que se uma função f é contínua em [\alpha,\beta], derivável em (\alpha,\beta) e f(\alpha)=f(\beta), então existe \xi\in(\alpha,\beta) tal que f'(\xi)=0.

Passo 2

Como p(x)=0 tem n soluções reais distintas, seja
\alpha_{1}<\alpha_{2}<\cdots<\alpha_{n}
o conjunto dessas raízes. Entre cada par de raízes consecutivas \alpha_{i} e \alpha_{i+1} a função p satisfaz p(\alpha_{i})=p(\alpha_{i+1})=0.

Passo 3

Aplicando Rolle em cada intervalo [\alpha_{i},\alpha_{i+1}], concluímos que para cada i=1,2,\dots,n-1 existe um ponto
\xi_{i}\in(\alpha_{i},\alpha_{i+1})
tal que
p'(\xi_{i})=0.
Isso garante pelo menos n-1 raízes reais distintas de p'(x)=0.

Passo 4

Como p é de grau n, sua derivada p' tem grau n-1 e, portanto, não pode ter mais do que n-1 raízes. Combinando ambos os fatos (pelo menos n-1 raízes e no máximo n-1), segue que p'(x)=0 tem exatamente n-1 soluções reais distintas.

Resposta

n-1

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