Se a equação
possui
soluções reais distintas, então quantas soluções distintas possui a equação
?
Dica: Use o Teorema de Rolle.
Dica: Use o Teorema de Rolle.
Passo 1
O enunciado dá um polinômio
de grau
que possui
raízes reais distintas. Queremos saber quantas raízes distintas tem a derivada
. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Rolle, que afirma que se uma função
é contínua em
, derivável em
e
, então existe
tal que
.
Passo 2
Como
tem
soluções reais distintas, seja
o conjunto dessas raízes. Entre cada par de raízes consecutivas
e
a função
satisfaz
.
Passo 3
Aplicando Rolle em cada intervalo
, concluímos que para cada
existe um ponto
tal que
Isso garante pelo menos
raízes reais distintas de
.
Passo 4
Como
é de grau
, sua derivada
tem grau
e, portanto, não pode ter mais do que
raízes. Combinando ambos os fatos (pelo menos
raízes e no máximo
), segue que
tem exatamente
soluções reais distintas.