Seja f:[0, \pi] \rightarrow[-1,1] dada por f(x)=\cos x. Utilizando o teorema da derivada da função inversa, mostre que a derivada da função g:[-1,1] \rightarrow[0, \pi] definida por g(x)=\operatorname{arccos} x é
g^{\prime}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f:[0,\pi]\to[-1,1],\quad f(x)=\cos x
e a sua inversa
g:[-1,1]\to[0,\pi],\quad g(x)=\operatorname{arccos} x.
O objetivo é usar o teorema da derivada da função inversa para encontrar g'(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Em (0,\pi) temos
f'(x) = -\sin x.
Como \sin x>0 em (0,\pi), temos f'(x)\neq0 nesse intervalo, o que garante que f é estritamente decrescente e invertível.

Passo 3

Pelo teorema da derivada da inversa, se g=f^{-1} então
g'(x) = \frac{1}{f'\bigl(g(x)\bigr)}.
Substituindo f'\bigl(g(x)\bigr) = -\sin\bigl(g(x)\bigr), obtemos
g'(x) = \frac{1}{-\sin\bigl(g(x)\bigr)} = -\frac{1}{\sin\bigl(g(x)\bigr)}.

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica válida para x\in(-1,1):
\sin\bigl(\operatorname{arccos} x\bigr) = \sqrt{1 - x^2}.
Como g(x)=\operatorname{arccos} x, isto dá
g'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

Resposta

g'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.

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