Seja
dada por
. Utilizando o teorema da derivada da função inversa, mostre que a derivada da função
definida por
é
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função
e a sua inversa
O objetivo é usar o teorema da derivada da função inversa para encontrar
.
Passo 2
Calculamos a derivada de
. Em
temos
Como
em
, temos
nesse intervalo, o que garante que
é estritamente decrescente e invertível.
Passo 3
Pelo teorema da derivada da inversa, se
então
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Usamos a identidade trigonométrica válida para
:
Como
, isto dá