A equação
P(x) y^prime prime+Q(x) y^prime+R(x) y=0
é dita exata se puder ser escrita na forma:
[P(x) y^prime]^prime+[f(x) y^prime]^prime=0
onde f(x) pode ser determinada em função de P(x), Q(x) e R(x).
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para y que pode ser resolvida como uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes variáveis.
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
P^prime prime(x)+Q^prime(x)+R(x)=0
Determine a solução da seguinte equação diferencial
e^-x y^prime prime+e^-x y^prime-2 e^-x y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem que parece assim:
e^-x y^prime prime + e^-x y^prime - 2 e^-x y = 0
Essa equação pertence ao conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Pelo enunciado, queremos verificar se essa equação é exata e, se for, resolver usando esse método. Para isso, vamos precisar identificar as funções $ P(x) $, $ Q(x) $ e $ R(x) $ na equação e depois aplicar a condição de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções $ P(x) $, $ Q(x) $ e $ R(x) $ na equação dada:
P(x)
Agora que temos essas funções, precisamos verificar se a equação é exata. Segundo o enunciado, para a equação ser exata, a seguinte condição deve ser satisfeita:
Q(x)

Passo 3

Vamos calcular cada termo da condição de exatidão:
Primeiro, calculemos a segunda derivada de $ P(x) $:
P(x)
Agora, calculemos a derivada de $ Q(x) $:
P(x) = e^-x P^prime(x) = -e^-x P^prime prime(x) = e^-x
E temos $ R(x) = -2 e^{-x} $.
Agora, somando tudo na condição de exatidão:
Q(x)

Passo 4

Ops! A soma deu -2 e^-x, que não é zero. Isso significa que a equação não é exata. Então, precisamos ajustar a equação para torná-la exata. Para isso, vamos procurar um fator integrante que, quando multiplicado pela equação original, a torne exata.

Passo 5

Para encontrar o fator integrante, vamos considerar um fator $ \mu(x) $ tal que, ao multiplicarmos a equação original por $ \mu(x) $, ela se torne exata. A escolha de $ \mu(x) $ depende da forma dos coeficientes da equação. Neste caso, podemos tentar:
mu(x)
Multiplicando toda a equação original por $ \mu(x) $:
mu(x)
Mas isso não simplifica a condição de exatidão. Então, vamos tentar outro método.

Passo 6

Outra abordagem é usar o método de redução de ordem ou procurar soluções particulares. Observando a equação:
e^-x y^prime prime + e^-x y^prime - 2 e^-x y = 0
Podemos simplificar dividindo toda a equação por $ e^{-x} $:
e^-x
Isso nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 7

Vamos resolver essa equação característica. Assumimos uma solução da forma $ y = e^{m x} $, substituindo na equação:
y = e^m x
Como $ e^{m x} \neq 0 $, temos:
(m)^2 e^m x + m e^m x - 2 e^m x = 0 e^m x (m^2 + m - 2) = 0

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática:
m = -b pm raizb^2 - 4ac2a a = 1, b = 1, c = -2 m = -1 pm raiz1 + 82 m = -1 pm 32
Então, as raízes são:
m1 = 1, m2 = -2

Passo 9

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^m1 x + C2 e^m2 x = C1 e^x + C2 e^-2x
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^x + C2 e^-2x

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