A equação
é dita exata se puder ser escrita na forma:
onde
pode ser determinada em função de
e
.
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para
que pode ser resolvida como uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes variáveis.
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
Determine a solução da seguinte equação diferencial
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem que parece assim:
Essa equação pertence ao conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Pelo enunciado, queremos verificar se essa equação é exata e, se for, resolver usando esse método. Para isso, vamos precisar identificar as funções $ P(x) $, $ Q(x) $ e $ R(x) $ na equação e depois aplicar a condição de exatidão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções $ P(x) $, $ Q(x) $ e $ R(x) $ na equação dada:
Agora que temos essas funções, precisamos verificar se a equação é exata. Segundo o enunciado, para a equação ser exata, a seguinte condição deve ser satisfeita:
Passo 3
Vamos calcular cada termo da condição de exatidão:
Primeiro, calculemos a segunda derivada de $ P(x) $:
Agora, calculemos a derivada de $ Q(x) $:
E temos $ R(x) = -2 e^{-x} $.
Agora, somando tudo na condição de exatidão:
Passo 4
Ops! A soma deu
, que não é zero. Isso significa que a equação não é exata. Então, precisamos ajustar a equação para torná-la exata. Para isso, vamos procurar um fator integrante que, quando multiplicado pela equação original, a torne exata.
Passo 5
Para encontrar o fator integrante, vamos considerar um fator $ \mu(x) $ tal que, ao multiplicarmos a equação original por $ \mu(x) $, ela se torne exata. A escolha de $ \mu(x) $ depende da forma dos coeficientes da equação. Neste caso, podemos tentar:
Multiplicando toda a equação original por $ \mu(x) $:
Mas isso não simplifica a condição de exatidão. Então, vamos tentar outro método.
Passo 6
Outra abordagem é usar o método de redução de ordem ou procurar soluções particulares. Observando a equação:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por $ e^{-x} $:
Isso nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 7
Vamos resolver essa equação característica. Assumimos uma solução da forma $ y = e^{m x} $, substituindo na equação:
Como $ e^{m x} \neq 0 $, temos:
Passo 8
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:
Passo 9
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: