Se a equação de recorrência a_{n}=c_{1} a_{n-1}+c_{2} a_{n-2} tem solução da forma A 3^{n}+B 6^{n}, ache as constantes c_{1} e c_{2}.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação: a sequência (a_n) satisfaz a recorrência linear homogênea de segunda ordem
a_{n}=c_{1}\,a_{n-1}+c_{2}\,a_{n-2},
e afirma que uma solução geral (ou uma forma de solução) é
a_{n}=A\,3^{n}+B\,6^{n},
onde A e B são constantes arbitrárias. A pergunta é: achar os valores das constantes c_{1} e c_{2}.

Passo 2

Vamos entender um fato essencial (sem supor que já sabe): para recorrências lineares homogêneas com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma a_n=r^n. Substituindo a_n=r^n em
a_{n}=c_{1}\,a_{n-1}+c_{2}\,a_{n-2}
obtemos a equação (chamada característica)
r^{2}-c_{1}\,r-c_{2}=0.
As raízes r desta equação são os expoentes que aparecem nas soluções r^{n}. Se as raízes são distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral é
a_{n}=A\,r_{1}^{n}+B\,r_{2}^{n},
com A,B arbitrários. Aqui isso explica por que a forma dada A\,3^{n}+B\,6^{n} corresponde a duas raízes r_{1}=3 e r_{2}=6 da equação característica.

Passo 3

Como a forma da solução tem termos 3^{n} e 6^{n}, concluímos que as raízes da equação característica são
r_{1}=3,\qquad r_{2}=6.
Agora use a relação entre coeficientes e raízes da equação quadrática. Escrevendo a equação característica em fatorada:
(r-3)(r-6)=0.
Expandindo o produto obtemos:
r^{2}-9r+18=0.

Passo 4

Compare a forma expandida com a forma padrão r^{2}-c_{1}r-c_{2}=0. Igualando coeficientes em r e no termo constante obtemos
-\,c_{1}=-9 \quad\Rightarrow\quad c_{1}=9,
-\,c_{2}=18 \quad\Rightarrow\quad c_{2}=-18.
Também podemos ver isso pelas fórmulas de Viète (soma e produto das raízes): a soma das raízes é r_{1}+r_{2}=3+6=9, que deve ser igual a c_{1}; o produto é r_{1}r_{2}=3\cdot6=18, que deve ser igual a -c_{2}, daí c_{2}=-18.

Passo 5

Verificação direta rápida (pra ficar seguro): se c_{1}=9 e c_{2}=-18, a recorrência fica
a_{n}=9\,a_{n-1}-18\,a_{n-2}.
Tomando a_{n}=3^{n}, verificamos
3^{n}=9\cdot 3^{n-1}-18\cdot 3^{n-2}.
Fatorando 3^{n-2} no lado direito:
3^{n-2}\bigl(3^{2}\bigr)=3^{n-2}\bigl(9\cdot 3^{0}-18\bigr)=3^{n-2}(9\cdot 3 -18)=3^{n-2}(27-18)=3^{n-2}\cdot9=3^{n},
o que é verdadeiro. Analogamente para 6^{n}. Então os valores encontrados funcionam.

Resposta

c_{1}=9
c_{2}=-18

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