Se a equação de recorrência
tem solução da forma
, ache as constantes
e
.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação: a sequência
satisfaz a recorrência linear homogênea de segunda ordem
e afirma que uma solução geral (ou uma forma de solução) é
onde
e
são constantes arbitrárias. A pergunta é: achar os valores das constantes
e
.
Passo 2
Vamos entender um fato essencial (sem supor que já sabe): para recorrências lineares homogêneas com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma
. Substituindo
em
obtemos a equação (chamada característica)
As raízes
desta equação são os expoentes que aparecem nas soluções
. Se as raízes são distintas
e
, a solução geral é
com
arbitrários. Aqui isso explica por que a forma dada
corresponde a duas raízes
e
da equação característica.
Passo 3
Como a forma da solução tem termos
e
, concluímos que as raízes da equação característica são
Agora use a relação entre coeficientes e raízes da equação quadrática. Escrevendo a equação característica em fatorada:
Expandindo o produto obtemos:
Passo 4
Compare a forma expandida com a forma padrão
. Igualando coeficientes em
e no termo constante obtemos
Também podemos ver isso pelas fórmulas de Viète (soma e produto das raízes): a soma das raízes é
, que deve ser igual a
; o produto é
, que deve ser igual a
, daí
.
Passo 5
Verificação direta rápida (pra ficar seguro): se
e
, a recorrência fica
Tomando
, verificamos
Fatorando
no lado direito:
o que é verdadeiro. Analogamente para
. Então os valores encontrados funcionam.