Descreva com palavras a superfície cuja equação é dada a seguir.
Escreva a equação em coordenadas esféricas.
x^{2}+z^{2}=16

Passo 1

O enunciado fornece a equação da superfície
x^{2}+z^{2}=16.
As perguntas são:
  • Descrever, em palavras, qual superfície essa equação representa.
  • Escrever a equação dessa superfície em coordenadas esféricas.
Informações relevantes dadas:
  • A equação envolve apenas x e z: x^{2}+z^{2}=16.
  • Não há nenhuma restrição sobre y na equação (ou seja, y é livre).

Passo 2

Interpretação geométrica (descrição em palavras) — passo a passo didático e intuitivo:
  1. Fixe um valor qualquer de y. Quando y é constante, a equação reduz-se a
    \;x^{2}+z^{2}=16\;,
    que é a equação de um círculo de raio 4 no plano formado pelos eixos x e z.
  2. Como isso vale para todo y (não há restrição sobre y), esses círculos de raio 4 aparecem para cada valor de y, empilhados ao longo do eixo y.
  3. Portanto a superfície é um cilindro circular reto de raio 4 cujo eixo é paralelo ao eixo y (passando pela origem). Em palavras simples: é o conjunto de todos os pontos que estão a distância 4 do eixo y.
Exemplos concretos de pontos que pertencem à superfície:
  • (4,0,0) porque 4^{2}+0^{2}=16.
  • (0,7,4) porque 0^{2}+4^{2}=16.
  • (-4,-3,0) porque (-4)^{2}+0^{2}=16.

Passo 3

Lembrando (aula rápida) como são definidas as coordenadas esféricas usadas aqui:
  • Use os parâmetros \rho, \theta, \varphi com as convenções clássicas:
    • \rho é a distância do ponto à origem ( \rho\ge 0).
    • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x (ou seja, projeção no plano xy).
    • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo (ângulo entre o vetor posição e o eixo z).
  • As fórmulas de conversão (essas vão ser usadas para substituir x,y,z) são:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta, \qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta, \qquad z=\rho\cos\varphi,
com \rho\ge0, \theta\in[0,2\pi), \varphi\in[0,\pi].
Explicação curta do porquê dessas fórmulas:
  • \rho é a distância total ao centro; \varphi determina a inclinação em relação ao eixo z, então a projeção no plano xy tem comprimento \rho\sin\varphi. Nessa projeção, \theta determina as coordenadas x e y via \cos\theta e \sin\theta. O componente em z é \rho\cos\varphi.

Passo 4

Substituir x e z em termos de \rho,\theta,\varphi na equação x^{2}+z^{2}=16:
  1. Escreva x^{2}+z^{2} usando as fórmulas:
x^{2}+z^{2}=(\rho\sin\varphi\cos\theta)^{2}+(\rho\cos\varphi)^{2}.
  1. Fatore \rho^{2}:
x^{2}+z^{2}=\rho^{2}\bigl(\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta+\cos^{2}\varphi\bigr).
  1. Simplifique a expressão dentro do parêntese usando a identidade trigonométrica \sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1. Observa-se:
\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta+\cos^{2}\varphi = \cos^{2}\varphi + \sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta = 1 - \sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta.
(uma forma direta de ver isso é: \sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta+\cos^{2}\varphi = \sin^{2}\varphi(1-\sin^{2}\theta)+\cos^{2}\varphi = \sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi - \sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta = 1-\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta.)
  1. Então a equação se torna
\rho^{2}\bigl(1-\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta\bigr)=16.

Passo 5

Colocar em forma explícita para \rho (quando possível) e comentar domínio de ângulos:
  1. Isolando \rho:
\rho^{2}=\dfrac{16}{1-\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta},
ou seja
\rho=\dfrac{4}{\sqrt{\,1-\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta\,}}.
  1. Observação sobre o domínio: o denominador \sqrt{1-\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta} deve ser real e não nulo para obter \rho finito e real. Portanto são permitidas apenas as direções (\theta,\varphi) tais que 1-\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta>0. Geometricamente isso significa que para as direções em que \sin\varphi\sin\theta= \pm 1 não há ponto da superfície (essas direções corresponderiam a tentar colocar \rho infinito).
  2. Comentário intuitivo: em coordenadas esféricas a superfície tem uma expressão mais complicada porque as esferas de raio \rho não estão alinhadas com o cilindro; por isso \rho depende de \theta e \varphi. Se fosse permitido usar coordenadas cilíndricas com eixo y a equação ficaria simplesmente \tilde r=4 (onde \tilde r=\sqrt{x^{2}+z^{2}}), o que é geometricamente claro — mas o enunciado pediu esféricas, portanto fiz a conversão completa.

Resposta

A superfície é um cilindro circular reto de raio 4 com eixo paralelo ao eixo y (ou seja, o conjunto de pontos cuja distância ao eixo y é 4).
\rho^{2}\bigl(1-\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta\bigr)=16

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