Descreva com palavras a superfície cuja equação é dada a seguir.
Escreva a equação em coordenadas esféricas.
Escreva a equação em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado fornece a equação da superfície
.
As perguntas são:
As perguntas são:
- Descrever, em palavras, qual superfície essa equação representa.
- Escrever a equação dessa superfície em coordenadas esféricas.
Informações relevantes dadas:
- A equação envolve apenas
e : . - Não há nenhuma restrição sobre
na equação (ou seja, é livre).
Passo 2
Interpretação geométrica (descrição em palavras) — passo a passo didático e intuitivo:
-
Fixe um valor qualquer de
. Quando é constante, a equação reduz-se a
,
que é a equação de um círculo de raiono plano formado pelos eixos e . -
Como isso vale para todo
(não há restrição sobre ), esses círculos de raio aparecem para cada valor de , empilhados ao longo do eixo . -
Portanto a superfície é um cilindro circular reto de raio
cujo eixo é paralelo ao eixo (passando pela origem). Em palavras simples: é o conjunto de todos os pontos que estão a distância do eixo .
Exemplos concretos de pontos que pertencem à superfície:
-
porque . -
porque . -
porque .
Passo 3
Lembrando (aula rápida) como são definidas as coordenadas esféricas usadas aqui:
-
Use os parâmetros
, , com as convenções clássicas: -
é a distância do ponto à origem ( ). -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo (ou seja, projeção no plano ). -
é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo (ângulo entre o vetor posição e o eixo ).
-
-
As fórmulas de conversão (essas vão ser usadas para substituir
) são:
com
,
,
.
Explicação curta do porquê dessas fórmulas:
-
é a distância total ao centro; determina a inclinação em relação ao eixo , então a projeção no plano tem comprimento . Nessa projeção, determina as coordenadas e via e . O componente em é .
Passo 4
Substituir
e
em termos de
na equação
:
- Escreva
usando as fórmulas:
- Fatore
:
- Simplifique a expressão dentro do parêntese usando a identidade trigonométrica
. Observa-se:
(uma forma direta de ver isso é:
.)
- Então a equação se torna
Passo 5
Colocar em forma explícita para
(quando possível) e comentar domínio de ângulos:
- Isolando
:
ou seja
-
Observação sobre o domínio: o denominador
deve ser real e não nulo para obter finito e real. Portanto são permitidas apenas as direções tais que . Geometricamente isso significa que para as direções em que não há ponto da superfície (essas direções corresponderiam a tentar colocar infinito). -
Comentário intuitivo: em coordenadas esféricas a superfície tem uma expressão mais complicada porque as esferas de raio
não estão alinhadas com o cilindro; por isso depende de e . Se fosse permitido usar coordenadas cilíndricas com eixo a equação ficaria simplesmente (onde ), o que é geometricamente claro — mas o enunciado pediu esféricas, portanto fiz a conversão completa.
Resposta
A superfície é um cilindro circular reto de raio
com eixo paralelo ao eixo
(ou seja, o conjunto de pontos cuja distância ao eixo
é
).