7 Uma equação do tipo
onde as funções
são dadas e a função
é diferenciável em
, denominada solução da equação, será dita equação diferencial ordinária de variáveis separáveis. Sabendo-se que qualquer solução desta equação pode ser obtida integrandose ambos os lados da igualdade em relação a
, encontre uma solução
da equação
para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
isto é, encontrar uma função
diferenciável em
que satisfaça essa igualdade.
Passo 2
Reescrevemos a equação de modo a separar as variáveis
e
. Como
em geral, temos
Passo 3
Integramos ambos os lados em relação a
, lembrando que
e
são diferenciais:
No lado esquerdo usamos
e no direito
. Logo,
onde
é constante de integração.
Passo 4
Isolamos
elevando ambos os lados ao cubo:
Resposta
A solução geral da equação é
onde
é constante arbitrária de integração.