7 Uma equação do tipo
f(y) \frac{d y}{d x}(x)=g(x), x \in I
onde as funções f, g: I \rightarrow \mathbb{R} são dadas e a função y: I \rightarrow \mathbb{R} é diferenciável em I, denominada solução da equação, será dita equação diferencial ordinária de variáveis separáveis. Sabendo-se que qualquer solução desta equação pode ser obtida integrandose ambos os lados da igualdade em relação a x, encontre uma solução y=y(x) da equação y^{2} \frac{d y}{d x}(x)=\cos (x) para x \in I \subset \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
y^{2}\,\frac{dy}{dx}(x)=\cos(x),
isto é, encontrar uma função y(x) diferenciável em I\subset\mathbb{R} que satisfaça essa igualdade.

Passo 2

Reescrevemos a equação de modo a separar as variáveis y e x. Como y\neq0 em geral, temos
y^{2}\,dy = \cos(x)\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x, lembrando que dy e dx são diferenciais:
\int y^{2}\,dy = \int \cos(x)\,dx.
No lado esquerdo usamos \int y^{2}\,dy = \tfrac{y^{3}}{3} e no direito \int \cos(x)\,dx = \sin(x). Logo,
\frac{y^{3}}{3} = \sin(x) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Isolamos y elevando ambos os lados ao cubo:
y^{3} = 3\bigl(\sin(x)+C\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \sqrt[3]{\,3\bigl(\sin(x)+C\bigr)\,}.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = \sqrt[3]{\,3\bigl(\sin(x)+C\bigr)\,},
onde C é constante arbitrária de integração.

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