6 Considere uma partícula movendo-se sobre uma reta. Se a aceleração da partícula é
uma função do tempo t, em segundos, dada pela função a:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, onde a(t)=2 t-1, para t \geq 0, e em t=1 \mathrm{~s} sua velocidade é 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e o espaço percorrido é 4 m , encontrar a expressão do espaço em função do tempo t.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração de uma partícula como
a(t) = 2t - 1, \quad t \ge 0,
e informa que em t = 1 s a velocidade vale 3,m/s e o espaço percorrido vale 4,m.
O objetivo é achar x(t), a posição em função do tempo.
Conteúdo: integrais indefinidas para obter primeira a velocidade e depois a posição, usando condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Para obter a velocidade integra-mos a(t):
v(t)=\int a(t)\,\mathrm{d}t=\int(2t-1)\,\mathrm{d}t=t^2 - t + C.
Em t=1 s sabemos que v(1)=3, logo
1^2 - 1 + C = 3\quad\Longrightarrow\quad C=3.
Portanto
v(t)=t^2 - t + 3.

Passo 3

Agora integramos v(t) para obter x(t):
x(t)=\int v(t)\,\mathrm{d}t=\int\bigl(t^2 - t + 3\bigr)\,\mathrm{d}t =\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+3t + D.
Usando x(1)=4, temos
x(1)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+3 + D =\frac{2-3+18}{6}+D=\frac{17}{6}+D=4,
logo
D=4-\frac{17}{6}=\frac{7}{6}.
Assim
x(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+3t+\frac{7}{6}.

Resposta

x(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+3t+\frac{7}{6}.

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