Se a equação vetorial da curva C for sigma(t) = 2 sen(t) i + sen(2t) j, encontre o cosseno do ângulo entre os vetores sigma(pi / 6) e T(pi / 6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a equação vetorial de uma curva , que é . O objetivo é encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores específicos na curva quando : o vetor posição e o vetor tangente . Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especialmente sobre derivadas e ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor posição . Isso é direto, basta substituir na equação da curva:
Sabemos que e . Então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor tangente , que é a derivada da função em relação a :
Derivando cada componente:
Agora, vamos calcular :
Sabendo que e :

Passo 4

Agora que temos os dois vetores, e , vamos calcular o cosseno do ângulo entre eles. A fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores e é:
Primeiro, calculamos o produto interno (ponto) dos vetores:
Agora, as normas dos vetores:

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno:

Resposta

O cosseno do ângulo entre os vetores e é .

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