Encontre o comprimento de arco da curva,
sigma(t) = (2 - 3t)i + (4t - 1)j + t^2k de t = 0 a t = 5/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento do arco da curva dada por no intervalo de até . O conteúdo aqui envolve cálculo de comprimentos de arco para curvas no espaço, utilizando derivadas e integrais. Vamos precisar calcular a derivada da função vetorial, encontrar o módulo dessa derivada e depois integrar esse módulo no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial sigma(t). A derivada nos dá a velocidade da curva em cada ponto.
Derivando cada componente em relação a t:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o módulo dessa derivada, que representa a velocidade instantânea da curva. O módulo de um vetor é dado por:
Aplicando isso à nossa derivada:

Passo 4

O próximo passo é integrar esse módulo de até para encontrar o comprimento do arco. A fórmula para o comprimento do arco L é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Observamos que a expressão dentro da raiz é semelhante à identidade , onde e .
Vamos fazer a substituição:
Então, ou
A integral fica:

Passo 6

A integral tem uma solução padrão:
Aplicando isso com :
avaliado de 0 a 5.

Passo 7

Agora, vamos calcular os limites:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:
Simplificando:

Resposta

O comprimento do arco da curva é unidades.

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