As equações diferenciais abaixo possuem um ponto singular regular
. Use o método de Frobenius para calcular a solução da EDO em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) usando o método de Frobenius. A equação dada tem um ponto singular regular em
. Isso significa que, perto desse ponto, a solução da equação pode ser expressa como uma série de potências. Vamos precisar entender como aplicar o método de Frobenius, que é super útil para resolver EDOs com pontos singulares regulares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixá-la na forma padrão. A equação dada é:
Dividindo tudo por
para isolar
:
Podemos simplificar o denominador fatorando:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções
e
na forma padrão da EDO:
No nosso caso, não há termo com
, então
, e:
Passo 4
Como estamos usando o método de Frobenius, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências de
multiplicada por
, onde
é um número que vamos determinar. Então, nossa solução tem a forma:
Passo 5
Vamos derivar
para encontrar
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na equação diferencial:
Vamos simplificar a fração
. Podemos expandir
como uma série geométrica:
Então,
Passo 7
Substituindo de volta na equação diferencial:
Podemos combinar as somas:
Passo 8
Para que essa equação seja satisfeita para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Assim, temos a equação de recorrência:
Podemos fatorar
:
Isso implica que:
Passo 9
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Para isso, analisamos o menor valor de
, que é
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos apenas uma raiz real
.
Passo 10
Com
, podemos agora encontrar os coeficientes
usando a equação de recorrência:
Isolando
:
Simplificando:
Encontrar
para todos os
pode ser complicado, mas para termos uma solução básica, consideramos
como uma constante arbitrária (normalmente
) e calculamos os primeiros termos da série.
Passo 11
Vamos calcular os primeiros termos da série para ter uma ideia da solução:
Para
:
Para
:
Para
:
Isso sugere que os termos de ordem superior serão zero, e a solução fica apenas com o termo
.
Resposta
A solução da equação diferencial usando o método de Frobenius é:
onde
é uma constante arbitrária.