Expresse d/y d/x em termos de x e y, em que y = f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equaçã̃o:
(f) (3xy + 7)^2 = 6y

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Isso tá dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente usando diferenciação implícita. Pra resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e isolar no final.

Passo 2

Primeiro, vamos começar diferenciando ambos os lados da equação em relação a . A equação dada é:

Passo 3

Vamos diferenciar o lado esquerdo. Usamos a regra da cadeia porque temos uma função composta. A derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Aqui, temos , que é um produto de e . Então, aplicamos a regra do produto:
E a derivada de 7 é 0, então:

Passo 5

Substituindo de volta na derivada do lado esquerdo:
Agora, vamos diferenciar o lado direito da equação, que é :

Passo 6

Igualando as derivadas dos dois lados:

Passo 7

Vamos expandir o lado esquerdo:
Simplificando:

Passo 8

Vamos coletar os termos que têm de um lado e os demais do outro:
Fatorando :

Passo 9

Agora, isolamos :
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 6:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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