Equações de Euler. Em cada um dos Problemas 31 a 34, use a substituição introduzida no Problema 25 na Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
t^{2} y^{\prime \prime}+2 t y^{\prime}+0,25 y=0, \quad t>0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
t^{2}y''+2t y'+0{,}25\,y=0,\qquad t>0,
e pede que a resolvamos usando a substituição introduzida no Problema 25 da Seção 3.3.
Informações dadas:
  • A equação é válida para t>0.
  • Coeficientes dependem de potências de t, característica das equações de Euler–Cauchy.
    O que se pede:
  • Encontrar a solução geral y(t) (usando a substituição mencionada).

Passo 2

Apresentando a substituição (essa é a ideia do Problema 25): faça a mudança de variável
x=\ln t,
e defina a nova função
u(x)=y(t)=y(e^{x}).
Motivação rápida (não resolve ainda): essa mudança transforma derivadas em relação a t em derivadas em relação a x de modo que a equação de Euler vira uma EDO com coeficientes constantes — muito mais fácil de resolver. Agora vamos calcular as derivadas necessárias usando a regra da cadeia.

Passo 3

Calcular y' e y'' em função de u e suas derivadas em x.
Primeiro, pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dt}=\frac{du}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Como x=\ln t temos \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{t}. Portanto
y'=\frac{dy}{dt}=\frac{1}{t}\,u'(x).
Agora derivamos de novo em relação a t. Usando y'=\dfrac{1}{t}u'(x) e diferenciando:
y''=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{t}u'(x)\right).
Aplicando a regra do produto e novamente a regra da cadeia (lembrando que du'/dt = (1/t)u''(x)):
y''=-\frac{1}{t^{2}}u'(x)+\frac{1}{t}\cdot\frac{1}{t}u''(x) =\frac{1}{t^{2}}\bigl(u''(x)-u'(x)\bigr).

Passo 4

Substituir y' e y'' na equação original e simplificar.
A equação dada é
t^{2}y''+2t y'+0{,}25\,y=0.
Substituindo y'' e y' obtidos:
t^{2}\cdot\frac{1}{t^{2}}\bigl(u''-u'\bigr) +2t\cdot\frac{1}{t}u'+0{,}25\,u=0.
Simplificando os fatores:
(u''-u')+2u'+0{,}25\,u=0.
Agrupando termos:
u''+u'+0{,}25\,u=0.
Portanto a mudança de variável transformou a EDO original numa EDO linear de coeficientes constantes para u(x).

Passo 5

Resolver a EDO de coeficientes constantes
u''+u'+0{,}25\,u=0.
Procuramos soluções da forma u(x)=e^{\lambda x}. Substituindo, obtemos a equação característica
\lambda^{2}+\lambda+0{,}25=0.
Calcule o discriminante:
\Delta=1-4\cdot0{,}25=1-1=0.
Como \Delta=0, a equação característica tem raiz real dupla
\lambda=-\frac{1}{2}.
Para raiz dupla \lambda a solução geral é
u(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{\lambda x} =\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{-x/2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 6

Voltar à variável original t. Lembrando que x=\ln t, substituímos:
u(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{-x/2} \quad\Rightarrow\quad y(t)=\bigl(C_{1}+C_{2}\ln t\bigr)e^{-(\ln t)/2}.
Usando e^{-(\ln t)/2}=t^{-1/2}, obtemos a solução na forma mais direta:
y(t)=t^{-1/2}\bigl(C_{1}+C_{2}\ln t\bigr),\qquad t>0.

Resposta

y(t)=t^{-1/2}\bigl(C_{1}+C_{2}\ln t\bigr),\qquad t>0

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