Equações de Euler. Em cada um dos Problemas 31 a 34, use a substituição introduzida no Problema 25 na Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede que a resolvamos usando a substituição introduzida no Problema 25 da Seção 3.3.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A equação é válida para
. - Coeficientes dependem de potências de
, característica das equações de Euler–Cauchy.
O que se pede: - Encontrar a solução geral
(usando a substituição mencionada).
Passo 2
Apresentando a substituição (essa é a ideia do Problema 25): faça a mudança de variável
e defina a nova função
Motivação rápida (não resolve ainda): essa mudança transforma derivadas em relação a
em derivadas em relação a
de modo que a equação de Euler vira uma EDO com coeficientes constantes — muito mais fácil de resolver. Agora vamos calcular as derivadas necessárias usando a regra da cadeia.
Passo 3
Calcular
e
em função de
e suas derivadas em
.
Primeiro, pela regra da cadeia,
Como
temos
. Portanto
Agora derivamos de novo em relação a
. Usando
e diferenciando:
Aplicando a regra do produto e novamente a regra da cadeia (lembrando que
):
Passo 4
Substituir
e
na equação original e simplificar.
A equação dada é
Substituindo
e
obtidos:
Simplificando os fatores:
Agrupando termos:
Portanto a mudança de variável transformou a EDO original numa EDO linear de coeficientes constantes para
.
Passo 5
Resolver a EDO de coeficientes constantes
Procuramos soluções da forma
. Substituindo, obtemos a equação característica
Calcule o discriminante:
Como
, a equação característica tem raiz real dupla
Para raiz dupla
a solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Voltar à variável original
. Lembrando que
, substituímos:
Usando
, obtemos a solução na forma mais direta: