Sabendo-se que
pode-se deduzir que o valor de
é:
a) 10
b) 20
c) 25
d) 30
e) 50
a) 10
b) 20
c) 25
d) 30
e) 50
Passo 1
O enunciado dá o limite
e pergunta qual é o valor de
entre as opções fornecidas. Informações relevantes:
-
e são constantes (não dependem de ). - O limite quando
do quociente acima é igual a .
O que se pede: determinarde forma que essa igualdade seja verdadeira.
Passo 2
Observação sobre a forma do limite. Ao fazermos
a expressão no numerador tende a
. Se
então o numerador tende a uma constante não nula enquanto o denominador tende a
, e o quociente diverge (não pode ser igual a um número finito
). Portanto, para que o limite seja finito (e igual a
), é necessário que
ou seja que
. Isso já sugere
. Vamos fazer uma manipulação algébrica rigorosa que confirma essa necessidade e avalia o limite.
Passo 3
Racionalizar o numerador (técnica clássica para limites com raízes). Multiplicamos numerador e denominador por
e escrevemos:
Passo 4
Continuando a simplificação:
Agora analisamos o comportamento quando
. Se
então o termo
diverge (tende a
), e o quociente não pode convergir para o valor finito
. Portanto é obrigatório que
, i.e.
, para o limite existir finito.
Passo 5
Com
a expressão simplifica de forma direta. Substituindo
na forma racionalizada obtemos:
Como
temos
. Logo o limite vale
que coincide exatamente com o valor dado no enunciado. Assim
satisfaz a condição e é a única possibilidade.
Passo 6
Resumo didático curto do porquê: para que o limite seja finito é preciso que o numerador zere quando
, o que força
e portanto
. Após essa condição o limite é calculado (por racionalização) e dá
, compatível com o enunciado.
Resposta
(c) 25