Sabendo-se que
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{B+A x}-5}{x}=\frac{A}{10}
pode-se deduzir que o valor de B é:
a) 10
b) 20
c) 25
d) 30
e) 50

Passo 1

O enunciado dá o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{B + A x} - 5}{x} = \frac{A}{10},
e pergunta qual é o valor de B entre as opções fornecidas. Informações relevantes:
  • A e B são constantes (não dependem de x).
  • O limite quando x \to 0 do quociente acima é igual a \dfrac{A}{10}.
    O que se pede: determinar B de forma que essa igualdade seja verdadeira.

Passo 2

Observação sobre a forma do limite. Ao fazermos x \to 0 a expressão no numerador tende a \sqrt{B} - 5. Se \sqrt{B} - 5 \neq 0 então o numerador tende a uma constante não nula enquanto o denominador tende a 0, e o quociente diverge (não pode ser igual a um número finito \dfrac{A}{10}). Portanto, para que o limite seja finito (e igual a \dfrac{A}{10}), é necessário que
\sqrt{B} - 5 = 0,
ou seja que \sqrt{B}=5. Isso já sugere B=25. Vamos fazer uma manipulação algébrica rigorosa que confirma essa necessidade e avalia o limite.

Passo 3

Racionalizar o numerador (técnica clássica para limites com raízes). Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{B + A x} + 5 e escrevemos:
\frac{\sqrt{B + A x} - 5}{x} = \frac{\big(\sqrt{B + A x} - 5\big)\big(\sqrt{B + A x} + 5\big)}{x\big(\sqrt{B + A x} + 5\big)} = \frac{(B + A x) - 25}{x\big(\sqrt{B + A x} + 5\big)}.

Passo 4

Continuando a simplificação:
\frac{(B + A x) - 25}{x\big(\sqrt{B + A x} + 5\big)} = \frac{B - 25 + A x}{x\big(\sqrt{B + A x} + 5\big)} = \frac{\dfrac{B - 25}{x} + A}{\sqrt{B + A x} + 5}.
Agora analisamos o comportamento quando x \to 0. Se B \neq 25 então o termo \dfrac{B-25}{x} diverge (tende a \pm\infty), e o quociente não pode convergir para o valor finito \dfrac{A}{10}. Portanto é obrigatório que B - 25 = 0, i.e. B = 25, para o limite existir finito.

Passo 5

Com B = 25 a expressão simplifica de forma direta. Substituindo B=25 na forma racionalizada obtemos:
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{25 + A x} - 5}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{A x}{x\big(\sqrt{25 + A x} + 5\big)} = \lim_{x \to 0} \frac{A}{\sqrt{25 + A x} + 5}.
Como x \to 0 temos \sqrt{25 + A x} \to \sqrt{25}=5. Logo o limite vale
\frac{A}{5 + 5} = \frac{A}{10},
que coincide exatamente com o valor dado no enunciado. Assim B=25 satisfaz a condição e é a única possibilidade.

Passo 6

Resumo didático curto do porquê: para que o limite seja finito é preciso que o numerador zere quando x\to0, o que força \sqrt{B}=5 e portanto B=25. Após essa condição o limite é calculado (por racionalização) e dá \dfrac{A}{10}, compatível com o enunciado.

Resposta

(c) 25

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