(Equações de Euler) Uma equação da forma
 
, onde 
  e 
  são constantes, é chamada de equação de Euler. Fazendo a introdução da variável 
 , verifique que podemos transformar a equação acima na equação:
 
ou seja, numa equação com coeficientes constantes. Se 
  e 
  formarem um conjunto fundamental de soluções da equação (1), então 
  e 
  formarão um conjunto fundamental de soluções da equação original. Use essa estratégia para resolver as equações abaixo para 
  :
- 
 
- 
 
- 
 
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver umas equações de Euler juntos. Essas equações têm a forma geral:
Aqui, 
  e 
  são constantes. O objetivo é transformar essa equação usando a substituição 
 , o que vai simplificar pra uma equação de coeficientes constantes. Depois disso, a gente resolve essa nova equação e volta pra variável original 
 . Vamos fazer isso para a primeira equação:
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a mudança de variável 
 . Isso significa que 
 . Precisamos expressar as derivadas de 
  em relação a 
  em termos de 
 .
Vamos calcular 
  e 
  usando a regra da cadeia:
E para a segunda derivada:
Passo 3
Agora, substituímos 
  e 
  na equação original:
Simplificando:
Os termos 
  e 
  se cancelam, restando:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial com coeficientes constantes:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. A solução geral é baseada nas raízes da equação característica. Vamos encontrar a equação característica:
Passo 5
As raízes são complexas: 
  e 
 . Portanto, a solução geral em termos de 
  é:
Onde 
  e 
  são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, lembrando que 
 , substituímos de volta para obter a solução em termos de 
 :
Passo 7
Vamos agora resolver a segunda equação de Euler:
Passo 8
Fazemos a mesma substituição 
 , então 
 . Calculamos as derivadas:
Passo 9
Substituímos na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos:
Passo 10
Agora, resolvemos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:
Passo 11
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral em termos de 
  é:
Passo 12
Voltando para a variável 
 , com 
 :
Passo 13
Por fim, vamos resolver a terceira equação de Euler:
Passo 14
Usamos novamente 
 , então 
 . Calculamos as derivadas:
Passo 15
Substituímos na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos:
Passo 16
Resolvemos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Temos uma raiz dupla: 
Passo 17
Com raiz dupla, a solução geral em termos de 
  é:
Passo 18
Voltando para 
 , com 
 :
Resposta
A solução geral da equação 
  para 
  é: