onde 200 e 10 são medidas em unidades astronômicas.
(a) Determine as equações paramétricas das retas tangente e normal no ponto t=\frac{\pi}{4}.
(b) Determine a equação cartesiana da trajetória, identificando a mesma.
(c) Determine o comprimento da trajetória.
13. Seja \gamma:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva parametrizada definida por: \left\{\begin{array}{l}x(t)=t \\\ y(t)=t^{2} \\\ z(t)=t^{3} .\end{array} \quad\right. Determine os pontos da curvas nos quais o vetor tangente é paralelo ao vetor (4,4,3).
Passo 1
Temos duas partes no enunciado. A primeira descreve a curva do cometa em \mathbb R^2\) por
\[\begin{cases} x(t)=200\cos(t),\\\ y(t)=10\sin(t), \end{cases}\quad t\in[0,2\pi],
e pede: (a) as equações paramétricas da reta tangente e da reta normal em t=\frac\pi4\], (b) a equação cartesiana da trajetória e sua identificação geométrica, \text{(c)} o comprimento total da curva.
A segunda parte dá a curva em \(\mathbb R^3
\gamma(t)=(t,\;t^2,\;t^3)
e pede os pontos onde o vetor tangente é paralelo a (4,4,3).
Passo 2
Cálculo do vetor velocidade e ponto em t=\frac\pi4.
Derivando
L =\int_{0}^{2\pi}10\sqrt{400\sin^2t+\cos^2t}\,dt =10\int_{0}^{2\pi}\sqrt{400\sin^2t+\cos^2t}\,dt.
Em termos de elipse, é conhecido que
L=4a\,E(e),
onde a=200 e e=\sqrt{1-(b/a)^2}=\sqrt{1-(10/200)^2}=\frac{\sqrt{399}}{20}. Portanto
L=800\,E\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{399}}{20}\Bigr),
sendo E o integral elíptico completo de segunda espécie.
Passo 6
Pontos de \gamma(t)=(t,t^2,t^3) cujo vetor tangente é paralelo a (4,4,3).
O vetor tangente é
\gamma'(t)=(1,2t,3t^2).
Procuramos \lambda tal que
(1,2t,3t^2)=\lambda(4,4,3).
Da primeira componente vem \lambda=\tfrac14. Da segunda, 2t=4\lambda=1 dá t=\tfrac12. Verifica-se que na terceira 3t^2=3\cdot\tfrac14, ok. Logo só em t=\tfrac12, e o ponto é