As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas por:
\left\{\begin{array}{l} x(t)=200 \cos (t) \\\ y(t)=10 \operatorname{sen}(t), \quad t \in[0,2 \pi], \end{array}\right.
onde 200 e 10 são medidas em unidades astronômicas.
(a) Determine as equações paramétricas das retas tangente e normal no ponto t=\frac{\pi}{4}.
(b) Determine a equação cartesiana da trajetória, identificando a mesma.
(c) Determine o comprimento da trajetória.
13. Seja \gamma:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva parametrizada definida por: \left\{\begin{array}{l}x(t)=t \\\ y(t)=t^{2} \\\ z(t)=t^{3} .\end{array} \quad\right. Determine os pontos da curvas nos quais o vetor tangente é paralelo ao vetor (4,4,3).

Passo 1

Temos duas partes no enunciado. A primeira descreve a curva do cometa em \mathbb R^2\) por \[\begin{cases} x(t)=200\cos(t),\\\ y(t)=10\sin(t), \end{cases}\quad t\in[0,2\pi],
e pede: (a) as equações paramétricas da reta tangente e da reta normal em t=\frac\pi4\], (b) a equação cartesiana da trajetória e sua identificação geométrica, \text{(c)} o comprimento total da curva. A segunda parte dá a curva em \(\mathbb R^3
\gamma(t)=(t,\;t^2,\;t^3)
e pede os pontos onde o vetor tangente é paralelo a (4,4,3).

Passo 2

Cálculo do vetor velocidade e ponto em t=\frac\pi4.
Derivando
x'(t)=-200\sin(t),\quad y'(t)=10\cos(t).
Em t=\frac\pi4 temos
\sin\Bigl(\tfrac\pi4\Bigr)=\cos\Bigl(\tfrac\pi4\Bigr)=\tfrac{\sqrt2}2,
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v\Bigl(\tfrac\pi4\Bigr)=\bigl(x'(\tfrac\pi4),y'(\tfrac\pi4)\bigr) =\bigl(-200\cdot\tfrac{\sqrt2}2,\;10\cdot\tfrac{\sqrt2}2\bigr) =\bigl(-100\sqrt2,\;5\sqrt2\bigr).
O ponto da curva é
P=\bigl(x(\tfrac\pi4),\,y(\tfrac\pi4)\bigr) =\bigl(200\cdot\tfrac{\sqrt2}2,\;10\cdot\tfrac{\sqrt2}2\bigr) =\bigl(100\sqrt2,\;5\sqrt2\bigr).

Passo 3

Equações da reta tangente e da reta normal.
– Reta tangente, usando vetor direção v=(-100\sqrt2,5\sqrt2)\) e ponto \(P\): \[\begin{cases} x(s)=100\sqrt2-100\sqrt2\,s,\\\ y(s)=5\sqrt2+5\sqrt2\,s, \end{cases}\quad s\in\mathbb R.
– Reta normal: escolhemos um vetor perpendicular a v\], por exemplo \(n=(-5\sqrt2,-100\sqrt2) (obtido trocando componentes de v e mudando sinal):
\begin{cases} x(u)=100\sqrt2-5\sqrt2\,u,\\\ y(u)=5\sqrt2-100\sqrt2\,u, \end{cases}\quad u\in\mathbb R.

Passo 4

Equação cartesiana da trajetória.
Da definição \cos(t)=\tfrac{x}{200} e \sin(t)=\tfrac{y}{10}. Como \cos^2t+\sin^2t=1, vem
\frac{x^2}{200^2}+\frac{y^2}{10^2}=1.
É uma elipse de semi-eixo maior a=200 e menor b=10.

Passo 5

Comprimento da trajetória.
O comprimento é
L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt =\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(200\sin t)^2+(10\cos t)^2}\,dt.
Fatorando
L =\int_{0}^{2\pi}10\sqrt{400\sin^2t+\cos^2t}\,dt =10\int_{0}^{2\pi}\sqrt{400\sin^2t+\cos^2t}\,dt.
Em termos de elipse, é conhecido que
L=4a\,E(e),
onde a=200 e e=\sqrt{1-(b/a)^2}=\sqrt{1-(10/200)^2}=\frac{\sqrt{399}}{20}. Portanto
L=800\,E\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{399}}{20}\Bigr),
sendo E o integral elíptico completo de segunda espécie.

Passo 6

Pontos de \gamma(t)=(t,t^2,t^3) cujo vetor tangente é paralelo a (4,4,3).
O vetor tangente é
\gamma'(t)=(1,2t,3t^2).
Procuramos \lambda tal que
(1,2t,3t^2)=\lambda(4,4,3).
Da primeira componente vem \lambda=\tfrac14. Da segunda, 2t=4\lambda=1 t=\tfrac12. Verifica-se que na terceira 3t^2=3\cdot\tfrac14, ok. Logo só em t=\tfrac12, e o ponto é
\gamma\bigl(\tfrac12\bigr)=\Bigl(\tfrac12,\;\tfrac14,\;\tfrac18\Bigr).

Resposta

(a) Reta tangente:
\begin{cases} x(s)=100\sqrt2-100\sqrt2\,s,\\\ y(s)=5\sqrt2+5\sqrt2\,s, \end{cases}
Reta normal:
\begin{cases} x(u)=100\sqrt2-5\sqrt2\,u,\\\ y(u)=5\sqrt2-100\sqrt2\,u. \end{cases}
(b)
\frac{x^2}{200^2}+\frac{y^2}{10^2}=1,
que é uma elipse de semi-eixos 200 e 10.
(c)
L=10\int_{0}^{2\pi}\sqrt{400\sin^2t+\cos^2t}\,dt =800\,E\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{399}}{20}\Bigr).
  1. O vetor tangente a \gamma é paralelo a (4,4,3) apenas em t=\tfrac12, ponto \bigl(\tfrac12,\tfrac14,\tfrac18\bigr).

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