As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas por:
\left\{\begin{array}{l} x(t)=200 \cos (t) \\\ y(t)=10 \operatorname{sen}(t), \quad t \in[0,2 \pi], \end{array}\right.
onde 200 e 10 são medidas em unidades astronômicas.
(a) Determine as equações paramétricas das retas tangente e normal no ponto t=\frac{\pi}{4}.
(b) Determine a equação cartesiana da trajetória, identificando a mesma.
(c) Determine o comprimento da trajetória.
13. Seja \gamma:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva parametrizada definida por: \left\{\begin{array}{l}x(t)=t \\\ y(t)=t^{2} \\\ z(t)=t^{3} .\end{array} \quad\right. Determine os pontos da curvas nos quais o vetor tangente é paralelo ao vetor (4,4,3).

Passo 1

O enunciado apresenta duas partes. Na primeira, temos a curva planária dada por
\begin{cases} x(t)=200\cos(t),\\\ y(t)=10\operatorname{sen}(t), \end{cases}\quad t\in[0,2\pi],
e pede:
(a) as equações paramétricas da reta tangente e da reta normal no ponto t=\frac\pi4;
(b) a equação cartesiana da trajetória e sua identificação;
(c) o comprimento da curva.
Na segunda parte, a curva em \mathbb R^3 é
\gamma(t)=\bigl(t,\;t^2,\;t^3\bigr),
e pede os pontos onde o vetor tangente \gamma'(t) é paralelo a (4,4,3).
Para resolver usaremos derivadas paramétricas, definição de reta tangente e normal no plano, eliminação de parâmetro para equação cartesiana de cônicas, fórmula de comprimento de arco e condição de paralelismo entre vetores.

Passo 2

(a) Primeiro calculamos \bigl(x'(t),y'(t)\bigr)\). \[x'(t)=-200\operatorname{sen}(t),\quad y'(t)=10\cos(t).
Em t_0=\frac\pi4 temos
x\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=200\cos\tfrac\pi4=100\sqrt2,\quad y\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=10\operatorname{sen}\tfrac\pi4=5\sqrt2,
x'\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=-200\operatorname{sen}\tfrac\pi4=-100\sqrt2,\quad y'\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=10\cos\tfrac\pi4=5\sqrt2.
A reta tangente usa direção \bigl(x',y'\bigr), com parâmetro u:
\begin{cases} x=100\sqrt2-100\sqrt2\,u,\\\ y=5\sqrt2+5\sqrt2\,u. \end{cases}
A reta normal é perpendicular ao vetor tangente, logo sua direção pode ser \bigl(-y',x'\bigr)\]. Em \(t_0 isso dá \bigl(-5\sqrt2,\,-100\sqrt2\bigr). Com parâmetro v:
\begin{cases} x=100\sqrt2-5\sqrt2\,v,\\\ y=5\sqrt2-100\sqrt2\,v. \end{cases}

Passo 3

(b) Para achar a equação cartesiana eliminamos t:
\frac{x}{200}=\cos t,\quad \frac{y}{10}=\operatorname{sen} t \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{x}{200}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{y}{10}\Bigr)^2=1.
Essa é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior a=200 e menor b=10.

Passo 4

(c) O comprimento de arco é
L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt =\int_{0}^{2\pi}10\sqrt{400\operatorname{sen}^2t+\cos^2t}\,dt.
Esse integral é o perímetro da elipse \tfrac{x^2}{200^2}+\tfrac{y^2}{10^2}=1, que se expressa em termos do integral elíptico completo de segunda espécie E(e), com excentricidade
e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} =\sqrt{1-\frac{10^2}{200^2}} =\frac{\sqrt{399}}{20}.
O resultado é
L=800\,E\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{399}}{20}\Bigr).

Passo 5

Para \gamma(t)=(t,t^2,t^3) temos
\gamma'(t)=(1,2t,3t^2).
Procuramos \lambda tal que
(1,2t,3t^2)=\lambda\,(4,4,3).
Da primeira componente, \lambda=\tfrac14. Da segunda, 2t=4\lambda=1\implies t=\tfrac12. Da terceira, 3t^2=3\lambda\implies t^2=\tfrac14, consistente apenas com t=\tfrac12.
Logo o ponto é \bigl(\tfrac12,\tfrac14,\tfrac18\bigr).

Resposta

(a) Reta tangente em t=\frac\pi4\): \[\begin{cases} x=100\sqrt2-100\sqrt2\,u,\\\ y=5\sqrt2+5\sqrt2\,u, \end{cases}
reta normal em t=\frac\pi4\]: \[\begin{cases} x=100\sqrt2-5\sqrt2\,v,\\\ y=5\sqrt2-100\sqrt2\,v. \end{cases}\] (b) \(\displaystyle \frac{x^2}{200^2}+\frac{y^2}{10^2}=1, é uma elipse de semi-eixos 200 e 10.
(c) \displaystyle L=800\,E\!\bigl(\tfrac{\sqrt{399}}{20}\bigr).
(13) O ponto onde \gamma'(t)\parallel(4,4,3) é \bigl(\tfrac12,\tfrac14,\tfrac18\bigr).

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