onde 200 e 10 são medidas em unidades astronômicas.
(a) Determine as equações paramétricas das retas tangente e normal no ponto t=\frac{\pi}{4}.
(b) Determine a equação cartesiana da trajetória, identificando a mesma.
(c) Determine o comprimento da trajetória.
13. Seja \gamma:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva parametrizada definida por: \left\{\begin{array}{l}x(t)=t \\\ y(t)=t^{2} \\\ z(t)=t^{3} .\end{array} \quad\right. Determine os pontos da curvas nos quais o vetor tangente é paralelo ao vetor (4,4,3).
Passo 1
O enunciado apresenta duas partes. Na primeira, temos a curva planária dada por
e pede:
(a) as equações paramétricas da reta tangente e da reta normal no ponto t=\frac\pi4;
(b) a equação cartesiana da trajetória e sua identificação;
(c) o comprimento da curva.
Na segunda parte, a curva em \mathbb R^3 é
\gamma(t)=\bigl(t,\;t^2,\;t^3\bigr),
e pede os pontos onde o vetor tangente \gamma'(t) é paralelo a (4,4,3).
Para resolver usaremos derivadas paramétricas, definição de reta tangente e normal no plano, eliminação de parâmetro para equação cartesiana de cônicas, fórmula de comprimento de arco e condição de paralelismo entre vetores.
Passo 2
(a) Primeiro calculamos \bigl(x'(t),y'(t)\bigr)\).
\[x'(t)=-200\operatorname{sen}(t),\quad y'(t)=10\cos(t).
A reta normal é perpendicular ao vetor tangente, logo sua direção pode ser \bigl(-y',x'\bigr)\]. Em \(t_0 isso dá \bigl(-5\sqrt2,\,-100\sqrt2\bigr). Com parâmetro v:
Esse integral é o perímetro da elipse \tfrac{x^2}{200^2}+\tfrac{y^2}{10^2}=1, que se expressa em termos do integral elíptico completo de segunda espécie E(e), com excentricidade
Da primeira componente, \lambda=\tfrac14. Da segunda, 2t=4\lambda=1\implies t=\tfrac12. Da terceira, 3t^2=3\lambda\implies t^2=\tfrac14, consistente apenas com t=\tfrac12.
Logo o ponto é \bigl(\tfrac12,\tfrac14,\tfrac18\bigr).
Resposta
(a) Reta tangente em t=\frac\pi4\):
\[\begin{cases} x=100\sqrt2-100\sqrt2\,u,\\\ y=5\sqrt2+5\sqrt2\,u, \end{cases}
reta normal em t=\frac\pi4\]:
\[\begin{cases} x=100\sqrt2-5\sqrt2\,v,\\\ y=5\sqrt2-100\sqrt2\,v. \end{cases}\]
(b) \(\displaystyle \frac{x^2}{200^2}+\frac{y^2}{10^2}=1, é uma elipse de semi-eixos 200 e 10.
(c) \displaystyle L=800\,E\!\bigl(\tfrac{\sqrt{399}}{20}\bigr).
(13) O ponto onde \gamma'(t)\parallel(4,4,3) é \bigl(\tfrac12,\tfrac14,\tfrac18\bigr).