As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas por:
\left\{\begin{array}{l} x(t)=200 \cos (t) \\\ y(t)=10 \operatorname{sen}(t), \quad t \in[0,2 \pi], \end{array}\right.
onde 200 e 10 são medidas em unidades astronômicas.
(a) Determine as equações paramétricas das retas tangente e normal no ponto t=\frac{\pi}{4}.
(b) Determine a equação cartesiana da trajetória, identificando a mesma.
(c) Determine o comprimento da trajetória.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória de um cometa por
\begin{cases} x(t)=200\cos(t),\\\ y(t)=10\sin(t), \end{cases} \quad t\in[0,2\pi],
e pede:
a) as equações paramétricas da reta tangente e da reta normal em t=\tfrac{\pi}{4};
b) a equação cartesiana da curva e sua identificação;
c) o comprimento da trajetória.
Conteúdo envolvido: derivadas para encontrar direção da reta tangente, vetor normal perpendicular, eliminação de parâmetro usando \cos^2t+\sin^2t=1 para obter a equação cartesiana e uso da fórmula de comprimento de arco
L=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\,dt.

Passo 2

Calcular as derivadas e a posição em t=\tfrac{\pi}{4}.
\frac{dx}{dt}=-200\sin(t),\quad \frac{dy}{dt}=10\cos(t).
Em t=\tfrac{\pi}{4}:
x_0=x\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=200\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=100\sqrt2,\quad y_0=y\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=10\sin\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=5\sqrt2,
\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=\pi/4}=-200\cdot\frac{\sqrt2}{2}=-100\sqrt2,\quad \left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=\pi/4}=10\cdot\frac{\sqrt2}{2}=5\sqrt2.

Passo 3

Equação paramétrica da reta tangente: ponto \bigl(x_0,y_0\bigr) e vetor diretor \bigl(dx/dt,\,dy/dt\bigr)=(-100\sqrt2,\,5\sqrt2). Usando parâmetro s:
\begin{cases} X(s)=100\sqrt2-100\sqrt2\;s,\\\ Y(s)=5\sqrt2+5\sqrt2\;s. \end{cases}

Passo 4

Equação paramétrica da reta normal: vetor normal perpendicular ao vetor tangente é \bigl(-\,dy/dt,\;dx/dt\bigr)=(-5\sqrt2,\,-100\sqrt2). Logo
\begin{cases} X(s)=100\sqrt2-5\sqrt2\;s,\\\ Y(s)=5\sqrt2-100\sqrt2\;s. \end{cases}

Passo 5

Para a equação cartesiana, note que
\frac{x}{200}=\cos t,\quad \frac{y}{10}=\sin t
e, somando quadrados, vem
\Bigl(\frac{x}{200}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{y}{10}\Bigr)^2=1.
É uma elipse centrada na origem, semi-eixo maior a=200 no eixo x e semi-eixo menor b=10 no eixo y.

Passo 6

Comprimento de arco da curva de t=0 a t=2\pi:
L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\bigl(-200\sin t\bigr)^2+\bigl(10\cos t\bigr)^2}\,dt =\int_{0}^{2\pi}10\sqrt{400\sin^2t+\cos^2t}\,dt.
Fatorando a=200 e escrevendo em função da excentricidade e=\sqrt{1-\tfrac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{399}}{20}, reconhece-se o integral de elipse completa de segunda espécie, resultando
L=4a\,E(e)=800\,E\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{399}}{20}\Bigr),
onde E(e) é o integral elíptico completo de segunda espécie.

Resposta

(a) Reta tangente em t=\tfrac{\pi}{4}\): \[\begin{cases} X(s)=100\sqrt2-100\sqrt2\,s,\\\ Y(s)=5\sqrt2+5\sqrt2\,s. \end{cases}
Reta normal em (t=\tfrac{\pi}{4}]:
\begin{cases} X(s)=100\sqrt2-5\sqrt2\,s,\\\ Y(s)=5\sqrt2-100\sqrt2\,s. \end{cases}
(b) Equação cartesiana
\frac{x^2}{200^2}+\frac{y^2}{10^2}=1,
que é uma elipse de semi-eixos a=200 e b=10.
(c) Comprimento da trajetória
L=\int_{0}^{2\pi}10\sqrt{400\sin^2t+\cos^2t}\,dt =800\,E\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{399}}{20}\Bigr),
sendo E o integral elíptico completo de segunda espécie.

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