As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas por:
\left\{\begin{array}{l} x(t)=200 \cos (t) \\\ y(t)=10 \operatorname{sen}(t), \quad t \in[0,2 \pi], \end{array}\right.
onde 200 e 10 são medidas em unidades astronômicas.
(a) Determine as equações paramétricas das retas tangente e normal no ponto t=\frac{\pi}{4}.
(b) Determine a equação cartesiana da trajetória, identificando a mesma.
(c) Determine o comprimento da trajetória.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
\begin{cases} x(t)=200\cos(t),\\\ y(t)=10\sin(t), \end{cases} \quad t\in[0,2\pi],
e pede (a) as retas tangente e normal em t=\tfrac{\pi}{4}, (b) a equação cartesiana da curva e sua identificação, e (c) o comprimento da trajetória. Vamos usar derivadas paramétricas para as retas, eliminação de parâmetro para a equação cartesiana e a fórmula de comprimento de arco.

Passo 2

Calcular as derivadas x'(t) e y'(t) e avaliar em t=\tfrac{\pi}{4}.
x'(t)=-200\sin(t),\quad y'(t)=10\cos(t).
Em t_0=\tfrac{\pi}{4} temos \sin(t_0)=\cos(t_0)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, então
x_0=x(t_0)=200\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=100\sqrt{2},\quad y_0=y(t_0)=10\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2},
x'(t_0)=-200\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=-100\sqrt{2},\quad y'(t_0)=10\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}.

Passo 3

A reta tangente tem vetor direção \bigl(x'(t_0),y'(t_0)\bigr)=(-100\sqrt{2},\,5\sqrt{2}). Usando parâmetro s:
\begin{cases} X(s)=100\sqrt{2}-100\sqrt{2}\,s,\\\ Y(s)=5\sqrt{2}+5\sqrt{2}\,s. \end{cases}

Passo 4

A reta normal tem vetor direção perpendicular \bigl(-y'(t_0),\,x'(t_0)\bigr)=(-5\sqrt{2},\,-100\sqrt{2}). Logo
\begin{cases} X(s)=100\sqrt{2}-5\sqrt{2}\,s,\\\ Y(s)=5\sqrt{2}-100\sqrt{2}\,s. \end{cases}

Passo 5

Para obter a equação cartesiana, escrevemos \cos(t)=x/200 e \sin(t)=y/10. Como \cos^2(t)+\sin^2(t)=1, vem
\Bigl(\frac{x}{200}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{y}{10}\Bigr)^2=1.
É uma elipse centrada na origem, semieixos a=200 (eixo x) e b=10 (eixo y).

Passo 6

O comprimento de arco de uma curva paramétrica é
L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt =\int_{0}^{2\pi}\sqrt{40000\sin^2t+100\cos^2t}\,dt.
Fatorando,
L=10\int_{0}^{2\pi}\sqrt{400\sin^2t+\cos^2t}\,dt.
Reconhecendo que é o comprimento de uma elipse de semieixo maior a=200 e menor b=10, usa-se a forma fechada com integral elíptica de segunda espécie:
e=\sqrt{1-\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)^2} =\sqrt{1-\bigl(\tfrac{10}{200}\bigr)^2} =\sqrt{\tfrac{399}{400}},
L=4a\,E(e)=800\,E\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{399}{400}}\Bigr),
onde E é a integral elíptica de segunda espécie.

Resposta

(a) Retas tangente e normal em t=\tfrac{\pi}{4}\): \[\text{Tangente: } \begin{cases} X(s)=100\sqrt{2}-100\sqrt{2}\,s,\\\ Y(s)=5\sqrt{2}+5\sqrt{2}\,s. \end{cases} \quad \text{Normal: } \begin{cases} X(s)=100\sqrt{2}-5\sqrt{2}\,s,\\\ Y(s)=5\sqrt{2}-100\sqrt{2}\,s. \end{cases}
(b) Equação cartesiana:
\Bigl(\tfrac{x}{200}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{y}{10}\Bigr)^2=1,
elipse de semieixos 200\] e \(10.
(c) Comprimento da trajetória:
L=800\,E\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{399}{400}}\Bigr).

Exercícios relacionados