As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas por:
onde 200 e 10 são medidas em unidades astronômicas.
(a) Determine as equações paramétricas das retas tangente e normal no ponto
.
(b) Determine a equação cartesiana da trajetória, identificando a mesma.
(c) Determine o comprimento da trajetória.
(a) Determine as equações paramétricas das retas tangente e normal no ponto
(b) Determine a equação cartesiana da trajetória, identificando a mesma.
(c) Determine o comprimento da trajetória.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e pede (a) as retas tangente e normal em
, (b) a equação cartesiana da curva e sua identificação, e (c) o comprimento da trajetória. Vamos usar derivadas paramétricas para as retas, eliminação de parâmetro para a equação cartesiana e a fórmula de comprimento de arco.
Passo 2
Calcular as derivadas
e
e avaliar em
.
Em
temos
, então
Passo 3
A reta tangente tem vetor direção
. Usando parâmetro
:
Passo 4
A reta normal tem vetor direção perpendicular
. Logo
Passo 5
Para obter a equação cartesiana, escrevemos
e
. Como
, vem
É uma elipse centrada na origem, semieixos
(eixo
) e
(eixo
).
Passo 6
O comprimento de arco de uma curva paramétrica é
Fatorando,
Reconhecendo que é o comprimento de uma elipse de semieixo maior
e menor
, usa-se a forma fechada com integral elíptica de segunda espécie:
onde
é a integral elíptica de segunda espécie.
Resposta
(a) Retas tangente e normal em
(b) Equação cartesiana:
elipse de semieixos
.
(c) Comprimento da trajetória: