1. As equações e^{u} \cos v=x e e^{u} \operatorname{sen} v=y definem u e v como funções de x e y, u=U(x, y) e v=V(x, y). Faça o que se pede
    a) Encontre fórmulas para U(x, y) e V(x, y) para x>0.
    b) Mostre que os vetores gradientes \nabla U(x, y) e \nabla V(x, y) são perpendiculares para cada ( x, y ).

Passo 1

O enunciado dá o sistema
e^{u}\cos v = x,
e^{u}\operatorname{sen} v = y
e pede (a) expressar u e v em função de x,y para x>0, isto é, encontrar
u = U(x,y), \quad v = V(x,y),
e (b) mostrar que \nabla U e \nabla V são ortogonais. Vamos usar a interpretação em coordenadas polares implícitas e derivadas parciais para calcular os gradientes.

Passo 2

Para achar U(x,y), somamos o quadrado das duas equações. Como \cos^2 v + \operatorname{sen}^2 v = 1, temos
\bigl(e^{u}\cos v\bigr)^2 + \bigl(e^{u}\operatorname{sen} v\bigr)^2 = e^{2u}\bigl(\cos^2 v + \operatorname{sen}^2 v\bigr) = e^{2u} = x^2 + y^2.
Logo
e^{2u} = x^2 + y^2 \quad\Longrightarrow\quad u = \tfrac12\ln\bigl(x^2 + y^2\bigr) = \ln\sqrt{x^2 + y^2}.
Portanto
U(x,y) = \ln\sqrt{x^2 + y^2}.

Passo 3

Para achar V(x,y), dividimos a equação de \operatorname{sen} v pela de \cos v:
\tan v = \frac{e^{u}\operatorname{sen} v}{e^{u}\cos v} = \frac{y}{x}.
Como x>0, podemos escrever
v = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).
Logo
V(x,y) = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).

Passo 4

Agora calculamos os gradientes. Primeiro
U(x,y) = \tfrac12\ln(x^2 + y^2)
então
\frac{\partial U}{\partial x} = \tfrac12\cdot\frac{2x}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2}, \qquad \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{y}{x^2 + y^2}.
Assim
\nabla U(x,y) = \Bigl(\frac{x}{x^2+y^2},\,\frac{y}{x^2+y^2}\Bigr).

Passo 5

Para V(x,y)=\arctan(y/x), usamos derivadas de \arctan.
\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\bigl(-\frac{y}{x^2}\bigr) = -\frac{y}{x^2+y^2},
\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x}{x^2+y^2}.
Logo
\nabla V(x,y) = \Bigl(-\frac{y}{x^2+y^2},\,\frac{x}{x^2+y^2}\Bigr).

Passo 6

Verificamos o produto escalar:
\nabla U\cdot\nabla V = \frac{x}{x^2+y^2}\cdot\Bigl(-\frac{y}{x^2+y^2}\Bigr) + \frac{y}{x^2+y^2}\cdot\frac{x}{x^2+y^2} = \frac{-xy + yx}{(x^2+y^2)^2} = 0.
Como o produto escalar é zero, \nabla U e \nabla V são perpendiculares.

Resposta

a)
U(x,y) = \ln\sqrt{x^2 + y^2}, \qquad V(x,y) = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr), \quad x>0.
b) \nabla U e \nabla V têm produto escalar zero, logo são ortogonais.

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