- As equações
e
definem
e
como funções de
e
e
. Faça o que se pede
a) Encontre fórmulas para
e
para
.
b) Mostre que os vetores gradientes
e
são perpendiculares para cada (
).
a) Encontre fórmulas para
b) Mostre que os vetores gradientes
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede (a) expressar
e
em função de
para
, isto é, encontrar
e (b) mostrar que
e
são ortogonais. Vamos usar a interpretação em coordenadas polares implícitas e derivadas parciais para calcular os gradientes.
Passo 2
Para achar
, somamos o quadrado das duas equações. Como
, temos
Logo
Portanto
Passo 3
Para achar
, dividimos a equação de
pela de
:
Como
, podemos escrever
Logo
Passo 4
Agora calculamos os gradientes. Primeiro
então
Assim
Passo 5
Para
, usamos derivadas de
.
Logo
Passo 6
Verificamos o produto escalar:
Como o produto escalar é zero,
e
são perpendiculares.
Resposta
a)
b)
e
têm produto escalar zero, logo são ortogonais.