Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0
f(x, y)=x^{3}-3 x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
f(x,y)=x^{3}-3x y^{2}
satisfaz a equação de Laplace
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=0.
Para isso, vamos usar as regras de derivação parcial (regra do poder e tratar a outra variável como constante) e calcular as segundas derivadas parciais.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais em x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr) - \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x y^{2}\bigr) = 3x^{2}-3y^{2}.
Em seguida, derivamos de novo em x:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}-3y^{2}\bigr) = 6x.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais em y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x y^{2}\bigr) = 0 - 6x y = -6x y.
Derivando de novo em y:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-6x y\bigr) = -6x.

Passo 4

Somando as segundas derivadas parciais:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = 6x + (-6x) = 0.
Portanto, a soma é nula em todo ponto (x,y), e isso mostra que f satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =0.

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