Uma equipe de analistas de dados monitora o volume diário de buscas online para um termo relacionado à Black Friday, nos dias que antecedem o evento. O objetivo é identificar padrões de crescimento e prever o pico de interesse.
Após coleta sistemática, foram registrados os seguintes volumes de busca (em milhares de acessos):
Dia (n) Volume de buscas x_{n}
1 50
2 70
3 100
4 140
5 190
A equipe suspeita que o aumento no volume de buscas é influenciado por dois fatores principais:
  • Expectativa acumulada: à medida que o evento se aproxima, a curiosidade e a procura aumentam.
  • Tendência de crescimento: o número de buscas também parece crescer em ritmo quase linear ou suavemente exponencial.
Por isso, acredita-se que o volume de buscas pode ser descrito por uma recorrência.
(a) Com base nos dados observados, determine a recorrência que descreve este modelo
(b) Estime os valores de x_{6} e x_{7} usando a fórmula obtida.
(c) Esboce um gráfico discreto com os valores de x_{1} até x_{7} e descreva o tipo de crescimento observado (linear, quadrático, exponencial?).
(d) Analise em que ponto o modelo pode deixar de representar corretamente a realidade. Por exemplo, o volume de buscas pode atingir um platô ou cair após o evento. Sugira quando e por que o modelo deveria ser revisado.

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência de volumes de busca em milhares:
x_{1}=50,\;x_{2}=70,\;x_{3}=100,\;x_{4}=140,\;x_{5}=190.
Queremos (a) encontrar uma recorrência que modele esse crescimento, (b) usar essa fórmula para prever x_{6} e x_{7}, (c) esboçar o gráfico discreto de x_{1} até x_{7} e classificar o tipo de crescimento, e (d) discutir até quando o modelo é válido. O conteúdo envolvido é teoria de recorrências e análise de tendências em séries temporais.

Passo 2

Observe as diferenças sucessivas:
d_{n}=x_{n}-x_{n-1},\quad n\ge2,
que valem
d_{2}=20,\;d_{3}=30,\;d_{4}=40,\;d_{5}=50.
Vemos que d_{n}=10n para n=2,3,4,5. Logo uma forma simples de recorrência de primeira ordem é
x_{n}=x_{n-1}+10n,\quad n\ge2,
com condição inicial x_{1}=50.

Passo 3

Usando x_{n}=x_{n-1}+10n:
x_{6}=x_{5}+10\cdot6=190+60=250,
x_{7}=x_{6}+10\cdot7=250+70=320.

Passo 4

Os pontos do gráfico discreto são
(1,50),\,(2,70),\,(3,100),\,(4,140),\,(5,190),\,(6,250),\,(7,320).
Ao ligá-los, notamos que as diferenças diárias crescem de modo constante (acréscimo de 10 a cada dia), o que caracteriza um crescimento de ordem quadrática no tempo, isto é, mais rápido que o linear e muito abaixo de um exponencial típico.

Passo 5

Na prática, o interesse por buscas não cresce indefinidamente: pouco antes da Black Friday deve haver saturação ou até queda após o evento. O modelo deve ser revisado assim que os dados reais começarem a desviar do acréscimo de 10n, por exemplo, por volta de quando a sequência de diferenças deixar de crescer (platô) – tipicamente nos dias imediatamente anteriores ao pico de buscas, quando a campanha de marketing atinge o limite de público ou quando o evento já foi amplamente antecipado.

Resposta

(a) Uma forma simples de recorrência é
x_{n}=x_{n-1}+10n,\quad x_{1}=50.
(b)
x_{6}=250,\quad x_{7}=320.
(c) Pontos (1,50),(2,70),(3,100),(4,140),(5,190),(6,250),(7,320). O crescimento é quadrático (diferenças diárias crescem linearmente).
(d) O modelo perde validade quando o volume de buscas alcança um platô ou começa a cair (próximo ou após a Black Friday). Deve-se revisitar a fórmula assim que as diferenças deixarem de aumentar em 10 por dia, indicando saturação do interesse.

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