Uma equipe de marketing digital monitora o desempenho de uma campanha publicitária nas redes sociais. No primeiro dia, 100 usuários compartilham o conteúdo. Observa-se que, a cada dia, cada pessoa que compartilha o conteúdo influencia, em média, duas outras pessoas a fazerem o mesmo no dia seguinte.
Os dados observados foram:
(a) Modele os dados por meio de uma sequência recorrente.
(b) Encontre a fórmula geral
.
(c) Estime quantos usuários terão compartilhado o conteúdo até o dia 10.
Os dados observados foram:
(b) Encontre a fórmula geral
(c) Estime quantos usuários terão compartilhado o conteúdo até o dia 10.
Passo 1
O enunciado mostra que no primeiro dia temos
compartilhamentos e que, a cada dia, cada pessoa que compartilha influencia em média 2 outras a compartilharem no dia seguinte. Esse comportamento caracteriza uma sequência recorrente do tipo progressão geométrica. Vamos modelar essa sequência, obter a fórmula fechada de
e depois usar a soma de uma série geométrica para estimar o total de usuários até o dia 10.
Passo 2
Para formar a relação de recorrência, note que o número de compartilhamentos do dia
é exatamente o dobro do dia
. Assim, temos
com condição inicial
Passo 3
Uma recorrência do tipo
com
gera uma progressão geométrica de razão
. Aqui
e
, logo a fórmula geral é
Passo 4
Para saber quantos usuários já compartilharam até o dia 10, somamos os termos de
até
. A soma dos
primeiros termos de uma progressão geométrica é
Resposta
(a)
, com
.
(b)
(c) Até o dia 10 serão, aproximadamente, usuários que já compartilharam o conteúdo.
(b)
(c) Até o dia 10 serão, aproximadamente,