Uma equipe de marketing digital monitora o desempenho de uma campanha publicitária nas redes sociais. No primeiro dia, 100 usuários compartilham o conteúdo. Observa-se que, a cada dia, cada pessoa que compartilha o conteúdo influencia, em média, duas outras pessoas a fazerem o mesmo no dia seguinte.
Os dados observados foram:
x_{1}=100, \quad x_{2}=200, \quad x_{3}=400, \quad x_{4}=800, \quad x_{5}=1600
(a) Modele os dados por meio de uma sequência recorrente.
(b) Encontre a fórmula geral x_{n}.
(c) Estime quantos usuários terão compartilhado o conteúdo até o dia 10.

Passo 1

O enunciado mostra que no primeiro dia temos \,x_{1}=100 compartilhamentos e que, a cada dia, cada pessoa que compartilha influencia em média 2 outras a compartilharem no dia seguinte. Esse comportamento caracteriza uma sequência recorrente do tipo progressão geométrica. Vamos modelar essa sequência, obter a fórmula fechada de \,x_{n} e depois usar a soma de uma série geométrica para estimar o total de usuários até o dia 10.

Passo 2

Para formar a relação de recorrência, note que o número de compartilhamentos do dia n+1 é exatamente o dobro do dia n. Assim, temos
x_{n+1} = 2\,x_{n},
com condição inicial
x_{1}=100.

Passo 3

Uma recorrência do tipo x_{n+1}=q\,x_{n} com x_{1}=x_{0} gera uma progressão geométrica de razão q. Aqui q=2 e x_{1}=100, logo a fórmula geral é
x_{n} = x_{1}\,2^{\,n-1} = 100\cdot 2^{\,n-1}.

Passo 4

Para saber quantos usuários já compartilharam até o dia 10, somamos os termos de x_{1} até x_{10}. A soma dos 10 primeiros termos de uma progressão geométrica é
S_{10} = \sum_{k=1}^{10} x_{k} = x_{1}\,\frac{2^{10}-1}{2-1} = 100\,(2^{10}-1) = 100\,(1024-1) = 100\cdot 1023 = 102300.

Resposta

(a) x_{n+1}=2\,x_{n}, com x_{1}=100.
(b) \displaystyle x_{n}=100\cdot 2^{\,n-1}.
(c) Até o dia 10 serão, aproximadamente, 102300 usuários que já compartilharam o conteúdo.

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