Uma equipe de engenharia projetou uma ponte sobre um leito retificado de um rio. Sabe-se que o leito do rio, na seção de construção da ponte, é retangular e foi todo construído em alvenaria de pedra argamassada, que por ser uma construção nova, encontra-se em muito boas condições. A largura do canal é de 10 metros, e a altura d’água é de 2,5 metros, possuindo declividade de
. A ponte possui coeficiente de obstrução de 2,5 e uma razão entre a largura das obstruções e a largura da ponte de
. Definir:
a) O valor de n ;
b) A vazão no canal;
c) O regime de escoamento;
d) O equacionamento para a altura a JUSANTE da ponte.
a) O valor de n ;
b) A vazão no canal;
c) O regime de escoamento;
d) O equacionamento para a altura a JUSANTE da ponte.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
-
Pedidos:
a) Determinar o valor de.
b) Calcular a vazãono canal.
c) Indicar o regime de escoamento (subcrítico ou supercrítico).
d) Fornecer o equacionamento para a altura a jusante da ponte (ou seja, a equação que relaciona a profundidade a jusantecom os dados). -
Dados do problema (vou listar tudo para ficar claro):
- largura do canal:
; - altura d’água (profundidade a montante, antes da ponte):
; - declividade do leito:
; - leito em alvenaria de pedra argamassada, novo e em boas condições (isso serve para estimar
); - coeficiente de obstrução da ponte:
(usarei este como coeficiente de perda adimensional na equação de energia); - razão entre a largura das obstruções e a largura da ponte:
, ou seja, a largura livre sob a ponte será .
- largura do canal:
Nota: vou assumir que a seção do canal é retangular e que a ponte reduz a largura livre por obstruções (pilares, proteções) ocupado
da largura total. Também vou tratar
como coeficiente único de perda concentrada associado à obstrução (perda expressa como
). Se o enunciado usar outra convenção para “coeficiente de obstrução”, o procedimento é análogo, só muda o símbolo.
Passo 2
Escolha do valor de
e explicação didática do que é
-
O que é
?
O parâmetrode Manning é um coeficiente empírico que mede a rugosidade da superfície do canal. Ele aparece na fórmula de Manning para vazão em canal em regime uniforme. Quanto maior , mais rugosa a superfície e menor a vazão para a mesma declividade e profundidade. -
Valores típicos:
Para alvenaria de pedra argamassada nova e em muito boas condições, valores típicos de referências hidráulicas são na faixaa . Canal em concreto liso fica em torno de , alvenaria pedregosa mais rugosa pode ir a . -
Escolha justificando:
Vou adotarcomo valor representativo para alvenaria de pedra argamassada nova e bem acabada. É um valor razoável e padrão para cálculo prático em exercícios.
Logo,
Passo 3
Cálculo das grandezas geométricas básicas (área, perímetro molhado, raio hidráulico) e revisão da fórmula de Manning
-
Fórmula de Manning (explicando cada termo):
A fórmula de Manning para vazão éonde:-
é a vazão ( ); -
é o coeficiente de Manning; -
é a área da seção molhada ( ); -
é o raio hidráulico ( ), definido por onde é o perímetro molhado; -
é a declividade do canal (adimensional).
A interpretação:determina quanto fluxo passa; capta o efeito da forma da seção e atrito; traz a energia disponível por declividade; corrige pela rugosidade.
-
-
Para seção retangular:
-
Substituindo os valores dados (
, ):
Passo 4
Cálculo da vazão
usando Manning (passo a passo numérico, sem pular etapas)
-
Calcule
: -
Calcule
: -
Agora aplique Manning:Primeiro calcule
.
Depois
Finalmente
Portanto a vazão calculada é
(Dica prática para prova: arredonde só no final; aqui dei um número com uma casa decimal.)
Passo 5
Classificação do regime com o número de Froude (explicando a física por trás)
-
Definição do número de Froude: para canais de seção retangularonde:
-
é a velocidade média ( ); -
é a gravidade ( ); -
é a profundidade hidráulica (para retangular é a própria profundidade).
-
-
Calcule
: -
Calcule
: -
Número de Froude:
Interpretação:
significa escoamento subcrítico (tranquilo). Então o regime é subcrítico.
Passo 6
Equacionamento para a altura a jusante da ponte — derivação física e matemática
-
Ideia física e hipótese: aplicamos a conservação da energia (equação da energia entre uma seção montante
e a seção a jusante da obstrução ) incluindo a perda concentrada por obstrução . Tomamos seções transversais horizontais imediatamente antes e imediatamente depois da ponte. Assumo coeficiente de perda tal que -
Equação de energia (neglecting differences in bed elevation because leito é praticamente horizontal no trecho curto; se houvesse diferença vertical, incluiríamos):com
e . Substituindo : -
Continuidade (vazão constante):Para a seção montante sem obstrução
. Para a seção sob a ponte, a largura livre é , então . Assim -
Substituindo
e na equação de energia: -
Reorganizando para obter uma equação só em
: Multiplicando ambos os lados pore reorganizando temos o polinômio cúbico: Esta é a equação a resolver para. É não-linear (cúbica) e normalmente resolvida por métodos numéricos (iteração simples, Newton–Raphson, ou tentativa e erro razoável).
Passo 7
Aplicação numérica do equacionamento ao caso fornecido e discussão física (choking / passagem crítica)
-
Primeiro calcule os parâmetros numéricos para a cúbica (usando
obtido em Passo 4, , , , , ). Coeficiente intermediário:Outro termo:Assim a equação numérica é -
Verificação da existência de solução física (muito importante!): comparar a energia específica montante
com o mínimo da função do lado jusante . Definimos:Já calculamosPara a seção sob a ponte a energia é:Essa funçãotem um mínimo em obtido derivando e anulando: o que dáSubstituindo valores:O valor mínimo deé então Comoe , temos . Fisicamente isso significa que, com a profundidade a montante dada , a energia disponível não é suficiente para fazer passar a vazão através da obstrução com as perdas assumidas. Consequência prática: - Não existe solução real positiva para
da cúbica com o original; a ponte está “estrangulando” o escoamento. - O estrangulamento leva o escoamento a atingir condição crítica na seção estrangulada. Ou seja, a profundidade a jusante assumirá o valor que minimiza
, que é . - Para que a vazão real passe, a profundidade a montante precisará aumentar (acumulação de água) até que a energia a montante
seja igual a . Resolvendo obtém-se a nova profundidade a montante.
- Não existe solução real positiva para
-
Cálculo da profundidade crítica/estrangulada e da nova profundidade a montante:
- Profundidade estrangulada (a jusante, onde ocorre a condição crítica):
- Energia mínima correspondente:
- Nova profundidade a montante
satisfaz Resolvendo numericamente essa equação (por tentativas ou Newton) obtém-se (Processo prático: testar valores; em prova você pode mostrar o procedimento de tentativa ou indicar uso de método numérico.)
- Profundidade estrangulada (a jusante, onde ocorre a condição crítica):
Interpretação final: com os dados dados, a equação direta para
(a cúbica) não tem solução física porque a energia montante é insuficiente; o escoamento fica estrangulado, a profundidade sob a ponte torna-se crítica
e a água acumula rio acima elevando
até
.
Resposta
a)
.\n
b) \n
c) Regime subcrítico (número de Froude ).\n
b)
c) Regime subcrítico (número de Froude
d) Equacionamento geral (continuidade + energia com perda
):
ou equivalentemente a forma cúbica a resolver para
:
Com os números do enunciado (
,
,
,
) obtém-se numericamente
Como a energia montante
é menor que
, não existe solução física para
com
; o escoamento fica estrangulado e a profundidade a jusante será crítica
enquanto a profundidade montante ajusta-se para cerca de
.