Uma equipe de engenharia projetou uma ponte sobre um leito retificado de um rio. Sabe-se que o leito do rio, na seção de construção da ponte, é retangular e foi todo construído em alvenaria de pedra argamassada, que por ser uma construção nova, encontra-se em muito boas condições. A largura do canal é de 10 metros, e a altura d’água é de 2,5 metros, possuindo declividade de 0,0005 \mathrm{~m} / \mathrm{m}. A ponte possui coeficiente de obstrução de 2,5 e uma razão entre a largura das obstruções e a largura da ponte de 15 \%. Definir:
a) O valor de n ;
b) A vazão no canal;
c) O regime de escoamento;
d) O equacionamento para a altura a JUSANTE da ponte.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pedidos:
    a) Determinar o valor de n.
    b) Calcular a vazão Q no canal.
    c) Indicar o regime de escoamento (subcrítico ou supercrítico).
    d) Fornecer o equacionamento para a altura a jusante da ponte (ou seja, a equação que relaciona a profundidade a jusante y_d com os dados).
  • Dados do problema (vou listar tudo para ficar claro):
    • largura do canal: b=10\\ \mathrm{m};
    • altura d’água (profundidade a montante, antes da ponte): y_u=2{,}5\\ \mathrm{m};
    • declividade do leito: S=0{,}0005\\ \mathrm{m/m};
    • leito em alvenaria de pedra argamassada, novo e em boas condições (isso serve para estimar n);
    • coeficiente de obstrução da ponte: K=2{,}5 (usarei este K como coeficiente de perda adimensional na equação de energia);
    • razão entre a largura das obstruções e a largura da ponte: 15\%, ou seja, a largura livre sob a ponte será b_c=b\,(1-0{,}15).
Nota: vou assumir que a seção do canal é retangular e que a ponte reduz a largura livre por obstruções (pilares, proteções) ocupado 15\% da largura total. Também vou tratar K como coeficiente único de perda concentrada associado à obstrução (perda expressa como h_L = K\cdot V_d^2/(2g)). Se o enunciado usar outra convenção para “coeficiente de obstrução”, o procedimento é análogo, só muda o símbolo.

Passo 2

Escolha do valor de n e explicação didática do que é n
  • O que é n?
    O parâmetro n de Manning é um coeficiente empírico que mede a rugosidade da superfície do canal. Ele aparece na fórmula de Manning para vazão em canal em regime uniforme. Quanto maior n, mais rugosa a superfície e menor a vazão para a mesma declividade e profundidade.
  • Valores típicos:
    Para alvenaria de pedra argamassada nova e em muito boas condições, valores típicos de referências hidráulicas são na faixa n\approx0{,}012 a 0{,}015. Canal em concreto liso fica em torno de 0{,}012, alvenaria pedregosa mais rugosa pode ir a 0{,}015.
  • Escolha justificando:
    Vou adotar n=0{,}013 como valor representativo para alvenaria de pedra argamassada nova e bem acabada. É um valor razoável e padrão para cálculo prático em exercícios.
Logo,
n = 0{,}013.

Passo 3

Cálculo das grandezas geométricas básicas (área, perímetro molhado, raio hidráulico) e revisão da fórmula de Manning
  • Fórmula de Manning (explicando cada termo):
    A fórmula de Manning para vazão é
    Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
    onde:
    • Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s});
    • n é o coeficiente de Manning;
    • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m}^2);
    • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R=\dfrac{A}{P} onde P é o perímetro molhado;
    • S é a declividade do canal (adimensional).
      A interpretação: A determina quanto fluxo passa; R^{2/3} capta o efeito da forma da seção e atrito; S^{1/2} traz a energia disponível por declividade; 1/n corrige pela rugosidade.
  • Para seção retangular:
    A = b\,y,\qquad P = b + 2y,\qquad R=\frac{A}{P}=\frac{b\,y}{b+2y}.
  • Substituindo os valores dados ( b=10\\ \mathrm{m}, y=y_u=2{,}5\\ \mathrm{m}):
    A = 10\cdot 2{,}5 = 25\\ \mathrm{m}^2,
P = 10 + 2\cdot 2{,}5 = 15\\ \mathrm{m},
R = \frac{25}{15}=\frac{5}{3}\approx 1{,}6666667\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo da vazão Q usando Manning (passo a passo numérico, sem pular etapas)
  • Calcule R^{2/3}:
    R^{2/3}=\left(\frac{5}{3}\right)^{2/3}\approx 1{,}4056.
  • Calcule S^{1/2}:
    S^{1/2}=\sqrt{0{,}0005}\approx 0{,}02236068.
  • Agora aplique Manning:
    Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2} =\frac{1}{0{,}013}\cdot 25\cdot 1{,}4056\cdot 0{,}02236068.
    Primeiro calcule 25\cdot 1{,}4056 = 35{,}139.
    Depois 35{,}139\cdot 0{,}02236068 \approx 0{,}78568.
    Finalmente Q \approx \dfrac{0{,}78568}{0{,}013}\approx 60{,}44\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Portanto a vazão calculada é
Q \approx 60{,}4\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
(Dica prática para prova: arredonde só no final; aqui dei um número com uma casa decimal.)

Passo 5

Classificação do regime com o número de Froude (explicando a física por trás)
  • Definição do número de Froude: para canais de seção retangular
    \mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{g\,y}},
    onde:
    • V é a velocidade média ( V=Q/A);
    • g é a gravidade ( g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2);
    • y é a profundidade hidráulica (para retangular y é a própria profundidade).
  • Calcule V:
    V=\frac{Q}{A}=\frac{60{,}44}{25}\approx 2{,}4176\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcule \sqrt{g\,y}:
    \sqrt{g\,y}=\sqrt{9{,}81\cdot 2{,}5}=\sqrt{24{,}525}\approx 4{,}9525\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de Froude:
    \mathrm{Fr}=\frac{2{,}4176}{4{,}9525}\approx 0{,}488.
Interpretação: \mathrm{Fr}<1 significa escoamento subcrítico (tranquilo). Então o regime é subcrítico.

Passo 6

Equacionamento para a altura a jusante da ponte — derivação física e matemática
  • Ideia física e hipótese: aplicamos a conservação da energia (equação da energia entre uma seção montante 1 e a seção a jusante da obstrução 2) incluindo a perda concentrada por obstrução h_L. Tomamos seções transversais horizontais imediatamente antes e imediatamente depois da ponte. Assumo coeficiente de perda K tal que
    h_L = K\cdot\frac{V_2^2}{2g}.
  • Equação de energia (neglecting differences in bed elevation because leito é praticamente horizontal no trecho curto; se houvesse diferença vertical, incluiríamos):
    y_1 + \frac{V_1^2}{2g} = y_2 + \frac{V_2^2}{2g} + h_L,
    com y_1=y_u e y_2=y_d. Substituindo h_L:
    y_u + \frac{V_1^2}{2g} = y_d + \frac{V_2^2}{2g} + K\frac{V_2^2}{2g} = y_d + (1+K)\frac{V_2^2}{2g}.
  • Continuidade (vazão constante):
    Q = A_1 V_1 = A_2 V_2.
    Para a seção montante sem obstrução A_1=b\,y_u. Para a seção sob a ponte, a largura livre é b_c=b(1-0{,}15)=0{,}85\,b, então A_2=b_c\,y_d. Assim
    V_1=\frac{Q}{b\,y_u},\qquad V_2=\frac{Q}{b_c\,y_d}.
  • Substituindo V_1 e V_2 na equação de energia:
    y_u + \frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{b\,y_u}\right)^2 = y_d + (1+K)\frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{b_c\,y_d}\right)^2.
  • Reorganizando para obter uma equação só em y_d:
    y_d = y_u + \frac{Q^2}{2g b^2 y_u^2} - (1+K)\frac{Q^2}{2g b_c^2 y_d^2}.
    Multiplicando ambos os lados por y_d^2 e reorganizando temos o polinômio cúbico:
    y_d^3 - \left(y_u + \frac{Q^2}{2g b^2 y_u^2}\right)y_d^2 + (1+K)\frac{Q^2}{2g b_c^2}=0.
    Esta é a equação a resolver para y_d. É não-linear (cúbica) e normalmente resolvida por métodos numéricos (iteração simples, Newton–Raphson, ou tentativa e erro razoável).

Passo 7

Aplicação numérica do equacionamento ao caso fornecido e discussão física (choking / passagem crítica)
  • Primeiro calcule os parâmetros numéricos para a cúbica (usando Q obtido em Passo 4, b=10\\ \mathrm{m}, b_c=0{,}85\cdot 10=8{,}5\\ \mathrm{m}, K=2{,}5, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2, y_u=2{,}5\\ \mathrm{m}).
    Coeficiente intermediário:
    C_1 = y_u + \frac{Q^2}{2g b^2 y_u^2} =2{,}5 + \frac{60{,}44^2}{2\cdot 9{,}81\cdot 10^2\cdot 2{,}5^2} \approx 2{,}7979.
    Outro termo:
    C_2 = (1+K)\frac{Q^2}{2g b_c^2} =3{,}5\cdot\frac{60{,}44^2}{2\cdot 9{,}81\cdot 8{,}5^2} \approx 9{,}02.
    Assim a equação numérica é
    y_d^3 - 2{,}7979\,y_d^2 + 9{,}02 = 0.
  • Verificação da existência de solução física (muito importante!): comparar a energia específica montante E_1 com o mínimo da função do lado jusante E_2(y_d).
    Definimos:
    E_1 = y_u + \frac{V_1^2}{2g} = y_u + \frac{Q^2}{2g b^2 y_u^2}.
    Já calculamos E_1 \approx 2{,}7979\\ \mathrm{m}.
    Para a seção sob a ponte a energia é:
    E_2(y_d)= y_d + (1+K)\frac{Q^2}{2g b_c^2 y_d^2}.
    Essa função E_2(y_d) tem um mínimo em y_d=y_* obtido derivando e anulando:
    \frac{dE_2}{dy_d}=1 - (1+K)\frac{Q^2}{g b_c^2 y_d^3}=0
    o que dá
    y_*=\left(\frac{(1+K)Q^2}{g b_c^2}\right)^{1/3}.
    Substituindo valores:
    y_* \approx \left(\frac{3{,}5\cdot 60{,}44^2}{9{,}81\cdot 8{,}5^2}\right)^{1/3}\approx 2{,}62\\ \mathrm{m}.
    O valor mínimo de E_2 é então
    E_{2,\min}=E_2(y_*)=y_*+\frac{(1+K)Q^2}{2g b_c^2 y_*^2}=\frac{3}{2}y_*\approx 1{,}5\cdot 2{,}62\approx 3{,}93\\ \mathrm{m}.
    Como E_1\approx 2{,}80\\ \mathrm{m} e E_{2,\min}\approx 3{,}93\\ \mathrm{m}, temos E_1<E_{2,\min}. Fisicamente isso significa que, com a profundidade a montante dada y_u=2{,}5\\ \mathrm{m}, a energia disponível não é suficiente para fazer passar a vazão Q através da obstrução com as perdas assumidas. Consequência prática:
    • Não existe solução real positiva para y_d da cúbica com o y_u original; a ponte está “estrangulando” o escoamento.
    • O estrangulamento leva o escoamento a atingir condição crítica na seção estrangulada. Ou seja, a profundidade a jusante assumirá o valor que minimiza E_2, que é y_*.
    • Para que a vazão real passe, a profundidade a montante precisará aumentar (acumulação de água) até que a energia a montante E_1 seja igual a E_{2,\min}. Resolvendo E_1(y_u^{\text{novo}})=E_{2,\min} obtém-se a nova profundidade a montante.
  • Cálculo da profundidade crítica/estrangulada e da nova profundidade a montante:
    • Profundidade estrangulada (a jusante, onde ocorre a condição crítica): y_d = y_* = \left(\frac{(1+K)Q^2}{g b_c^2}\right)^{1/3}\approx 2{,}62\\ \mathrm{m}.
    • Energia mínima correspondente: E_{2,\min}\approx 3{,}93\\ \mathrm{m}.
    • Nova profundidade a montante y_u^{\text{novo}} satisfaz y_u^{\text{novo}} + \frac{Q^2}{2g b^2 (y_u^{\text{novo}})^2} = E_{2,\min}\approx 3{,}93.Resolvendo numericamente essa equação (por tentativas ou Newton) obtém-se y_u^{\text{novo}}\approx 3{,}80\\ \mathrm{m}.(Processo prático: testar valores; em prova você pode mostrar o procedimento de tentativa ou indicar uso de método numérico.)
Interpretação final: com os dados dados, a equação direta para y_d (a cúbica) não tem solução física porque a energia montante é insuficiente; o escoamento fica estrangulado, a profundidade sob a ponte torna-se crítica y_* e a água acumula rio acima elevando y_u até \approx 3{,}80\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) n = 0{,}013.\n
b) Q \approx 60{,}4\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.\n
c) Regime subcrítico (número de Froude \mathrm{Fr}\approx 0{,}488).\n
d) Equacionamento geral (continuidade + energia com perda K): y_u + \frac{Q^2}{2g b^2 y_u^2} = y_d + (1+K)\frac{Q^2}{2g b_c^2 y_d^2},
ou equivalentemente a forma cúbica a resolver para y_d: y_d^3 - \left(y_u + \frac{Q^2}{2g b^2 y_u^2}\right)y_d^2 + (1+K)\frac{Q^2}{2g b_c^2}=0.
Com os números do enunciado ( b=10\\ \mathrm{m}, b_c=8{,}5\\ \mathrm{m}, K=2{,}5, Q\approx60{,}44\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}) obtém-se numericamente y_d^3 - 2{,}7979\,y_d^2 + 9{,}02 = 0.
Como a energia montante E_1\approx 2{,}80\\ \mathrm{m} é menor que E_{2,\min}\approx 3{,}93\\ \mathrm{m}, não existe solução física para y_d com y_u=2{,}5\\ \mathrm{m}; o escoamento fica estrangulado e a profundidade a jusante será crítica y_d = y_*=\left(\frac{(1+K)Q^2}{g b_c^2}\right)^{1/3}\approx 2{,}62\\ \mathrm{m},
enquanto a profundidade montante ajusta-se para cerca de y_u^{\mathrm{novo}}\approx 3{,}80\\ \mathrm{m}.

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