Dimensionar um vertedor simples, sem comporta, com altura de 15 metros e paramento a montante inclinado de 1:1, descarrega uma vazão de 100 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Considere a velocidade de aproximação nula. Levando em conta que a carga máxima é de 2 metros, dimensione a obra para pilares com largura de 0,5 metro espaçados de 8 metros, no máximo. Determine o nível da água na saída da estrutura.

Passo 1

O enunciado (resumindo e deixando claro o que se pede e o que foi dado):
  • Dados:
    • Vazão descarregada: \;Q = 100\\ \mathrm{m^3/s}.
    • Altura do vertedor (altura total da estrutura): \;15\\ \mathrm{m} (nota: usaremos a informação de altura apenas para contexto do lançamento; o dimensionamento do bordo do vertedor baseia‑se na carga sobre o bordo).
    • Paramento a montante inclinado de 1:1 (informação geométrica do paramento).
    • Velocidade de aproximação desprezada (ou seja, velocidade antes do vertedor é nula).
    • Carga máxima admissível acima do bordo (altura da lâmina sobre o bordo): \;H_{\max}=2\\ \mathrm{m}.
    • Pilares com largura \;b_p = 0,5\\ \mathrm{m} espaçados, no máximo, \;s_{\max}=8\\ \mathrm{m}.
  • O que se pede:
    1. Dimensionar a obra levando em conta os pilares (ou seja: obter o comprimento de crista necessário e adotar um arranjo com espaçamento máximo 8\\ \mathrm{m} entre pilares).
    2. Determinar o nível da água na saída da estrutura. (Interpreto aqui que querem o valor da carga efetiva sobre o bordo do vertedor resultante do arranjo escolhido — isto é, a altura da água sobre o bordo para a vazão Q com os vãos projetados. Vou explicitar esta interpretação e assunções no passo seguinte.)
Observação sobre interpretação/assunções (não pergunto nada — explicito o que vou assumir):
  • Vou usar a fórmula clássica do vertedor simples (sharp‑crested weir) para descarga livre: Q = C_d \, L \, H^{3/2},onde L é o comprimento útil (soma dos vãos livres), H é a carga sobre o bordo e C_d é o coeficiente de descarga. Esta é a formula usual em provas/obra. Adoto o valor prático típico \;C_d = 1{,}84 (unidades SI) — explicarei por que e o que isto significa no próximo passo.
  • Interpreto que o espaçamento informado \;8\\ \mathrm{m} é o vão livre máximo (ou seja, cada vão livre pode ter até 8\\ \mathrm{m} de comprimento de crista). Assim, número de vãos n=\lceil L_{\text{necessário}}/8\rceilá. Se você entender espaçamento de outra forma, o procedimento é análogo.

Passo 2

Aulasinha rápida: fórmula do vertedor e o coeficiente
  • Fórmula teórica (ideal) para descarga por unidade de comprimento de um vertedor afiado, sem perdas e sem coeficientes empíricos, é obtida integrando a equação de Bernoulli e dá uma expressão proporcional a H^{3/2}. Em forma prática e usada em engenharia, escreve‑se:
    Q = C_d \, L \, H^{3/2},
    onde:
    • \;Q é a vazão total ( \mathrm{m^3/s});
    • \;C_d é o coeficiente de descarga (tem dimensões que tornam a fórmula consistente em SI);
    • \;L é o comprimento útil do vertedor (comprimento total de crista por onde a água flui, em \mathrm{m});
    • \;H é a carga sobre o bordo do vertedor (altura média da linha de energia acima do bordo), em \mathrm{m}.
  • Sobre \;C_d: em prática é comum usar \;C_d\approx 1{,}84 (unidades SI) quando se usa a forma Q=C_d L H^{3/2}. Esse valor incorpora efeitos de contração e viscosidade que a teoria ideal não captura. Em provas e dimensionamentos preliminares o 1{,}84 é padrão.
  • O que faremos: primeiro, verificamos quanto comprimento L seria necessário se a carga fosse a máxima permitida H_{\max}=2\\ \mathrm{m}. Em seguida adaptamos esse comprimento ao espaçamento máximo de vãos, escolhendo um número inteiro de vãos, obtendo o comprimento real adotado L_{\text{adotado}}. Finalmente recalculamos a carga efetiva H correspondente à vazão Q com o comprimento adotado.

Passo 3

Calcular o comprimento mínimo necessário assumindo H_{\max}=2\\ \mathrm{m}.
  • Aplicando a fórmula: L_{\text{req}}=\frac{Q}{C_d\,H_{\max}^{3/2}}.
  • Calculamos H_{\max}^{3/2}: H_{\max}^{3/2}=2^{3/2}=2\sqrt{2}=2{,}828427\ldots
  • Colocando os números (com C_d=1{,}84): L_{\text{req}}=\frac{100}{1{,}84\cdot 2{,}828427}\approx\frac{100}{5{,}205}\approx 19{,}21\\ \mathrm{m}.
Interpretação: com carga exatamente 2\\ \mathrm{m} eu precisaria de cerca de \;19{,}2\\ \mathrm{m} de comprimento útil de crista para passar \;100\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Adaptar ao espaçamento de pilares (escolha do número de vãos).
  • Assumimos que cada vão livre pode ter até \;8\\ \mathrm{m} de largura de crista (vão livre). Então o número de vãos necessários é n=\left\lceil\frac{L_{\text{req}}}{8}\right\rceil=\left\lceil\frac{19{,}21}{8}\right\rceil=\lceil 2{,}401\rceil = 3.
  • Comprimento útil adotado (soma dos vãos livres) tomando cada vão com 8\\ \mathrm{m}: L_{\text{adotado}} = n \cdot 8 = 3\cdot 8 = 24\\ \mathrm{m}.
  • Observação estrutural (cálculo do comprimento total da obra incluindo espessuras de pilares): se os vãos são claros e há 2 pilares internos (entre 3 vãos), a largura total que a obra ocupa horizontalmente seria, assumindo apenas dois pilares internos, L_{\text{total}} = 3\cdot 8 + 2\cdot 0{,}5 = 24 + 1 = 25\\ \mathrm{m}.(Isto serve para dar uma ideia do comprimento físico necessário; a especificação do número de pilares e abutments finais depende do arranjo construtivo.)

Passo 5

Recalcular a carga efetiva H para o comprimento adotado L_{\text{adotado}}=24\\ \mathrm{m}.
  • Usamos a inversa da fórmula do vertedor: H = \left(\frac{Q}{C_d\,L}\right)^{2/3}.
  • Substituindo os valores: \frac{Q}{C_d\,L_{\text{adotado}}}=\frac{100}{1{,}84\cdot 24}=\frac{100}{44{,}16}\approx 2{,}2640.
H = (2{,}2640)^{2/3}.
  • Calculando: H \approx 1{,}725\\ \mathrm{m} \quad(\text{aproximadamente }1{,}73\\ \mathrm{m}).
Interpretação física e checagem:
  • A carga efetiva resultante com os vãos de 8\\ \mathrm{m} (três vãos) é \approx 1{,}73\\ \mathrm{m}, que é menor que a carga máxima permitida 2\\ \mathrm{m}. Isso é bom: o arranjo com vãos de \;8\\ \mathrm{m} atende a vazão sem ultrapassar a carga máxima.
  • Portanto, com 3 vãos de 8\\ \mathrm{m} (comprimento útil 24\\ \mathrm{m}) a lâmina sobre o bordo será cerca de \;1{,}73\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Comentário prático final e sobre “nível da água na saída da estrutura”
  • Pelo enunciado foi pedido “determine o nível da água na saída da estrutura”. Seguindo a interpretação adotada (nível da lâmina sobre o bordo do vertedor correspondente à vazão com o arranjo projetado), o valor obtido é H\approx 1{,}73\\ \mathrm{m} acima do bordo de crista.
  • Observação: se a sua intenção era obter o n ível absoluto do reservatório ou do canal receptor (cota em relação a uma cota zero), ou a cota da água no pé do vertedor após a queda de 15\\ \mathrm{m}, são necessários mais dados (como cotas de referência, altura do bordo acima de uma cota zero, e geometria do canal receptor). O que calculei aqui é a carga sobre o bordo (a lâmina que sobra sobre o bordo do vertedor) para o arranjo de vãos escolhido — que é normalmente o dado pedido num dimensionamento de vertedor.

Resposta

Comprimento útil do vertedor adotado: \;24\\ \mathrm{m}.
Número de vãos (com vão livre máximo 8\\ \mathrm{m}): \;3 vãos.
Carga efetiva (nível da água sobre o bordo, para Q=100\\ \mathrm{m^3/s} com este arranjo): \;H\approx 1{,}73\\ \mathrm{m}.

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