Un equipo de estudiantes de UTP analiza el comportamiento de un sistema de almacenamiento de carga eléctrica.
Según las pruebas técnicas, el flujo de carga que almacena el dispositivo desde que es conectado a la red presenta el siguiente comportamiento.
Donde
es el flujo de carga en
luego de
minutos de ser conectado a la red eléctrica.
a. Calcule la carga máxima permitida por el sistema de almacenamiento si se conecta en forma ilimitada.
b. Mediante una aplicación digital grafique la función
y determine su dominio y rango.
c. ¿Cuánta carga se almacena en los primeros
minuto de conexión?
Según las pruebas técnicas, el flujo de carga que almacena el dispositivo desde que es conectado a la red presenta el siguiente comportamiento.
a. Calcule la carga máxima permitida por el sistema de almacenamiento si se conecta en forma ilimitada.
b. Mediante una aplicación digital grafique la función
c. ¿Cuánta carga se almacena en los primeros
Passo 1
O enunciado dá a taxa de armazenamento de carga
em unidades de carga por minuto, depois de
minutos. Precisamos de três coisas:
– (a) a carga total armazenável se houver tempo ilimitado, isto é
.
– (b) o domínio e o alcance (range) de , e um esboço qualitativo do gráfico, achando o máximo de
.
– (c) a carga armazenada nos primeiros 1 minuto, isto é
.
– (a) a carga total armazenável se houver tempo ilimitado, isto é
– (b) o domínio e o alcance (range) de
– (c) a carga armazenada nos primeiros 1 minuto, isto é
Passo 2
Para (a) calculamos
Usamos a fórmula de Gamma:
aqui
e
. Logo
Multiplicando por 512:
Portanto, a carga máxima armazenável é
unidades de carga.
Passo 3
Para (b), primeiro o domínio natural de
é
pois a função descreve tempo desde a conexão. Em
e
temos
O gráfico sobe até um pico e depois decai. Para achar o pico, derivamos:
Zerando
dá
(mínimo) ou
(máximo). Logo o máximo ocorre em
min, valendo
Portanto o alcance (range) é
O esboço do gráfico é uma curva que parte de zero, atinge
em
e volta a zero conforme
.
Passo 4
Para (c) integramos de
a
:
Usamos a substituição
,
, ficando
Sabendo que
para
temos
Multiplicando por 2:
Resposta
a. A carga máxima armazenável é
unidades de carga.
b. Domínio: .
Alcance: , com máximo
em
.
c. A carga acumulada no primeiro minuto é
b. Domínio:
Alcance:
c. A carga acumulada no primeiro minuto é
unidades de carga.