Un equipo de estudiantes de UTP analiza el comportamiento de un sistema de almacenamiento de carga eléctrica.
Según las pruebas técnicas, el flujo de carga que almacena el dispositivo desde que es conectado a la red presenta el siguiente comportamiento.
F(t)=512 t^{3} \cdot e^{-4 t}
Donde \boldsymbol{F}(\boldsymbol{t}) es el flujo de carga en \frac{\text { Unidad de carga eléctrica }}{\text { min }}é luego de \boldsymbol{t} minutos de ser conectado a la red eléctrica.
a. Calcule la carga máxima permitida por el sistema de almacenamiento si se conecta en forma ilimitada.
b. Mediante una aplicación digital grafique la función \boldsymbol{F}(\boldsymbol{t}) y determine su dominio y rango.
c. ¿Cuánta carga se almacena en los primeros \mathbf{1} minuto de conexión?

Passo 1

O enunciado dá a taxa de armazenamento de carga
F(t) \;=\; 512\,t^{3}e^{-4t}
em unidades de carga por minuto, depois de t minutos. Precisamos de três coisas:
– (a) a carga total armazenável se houver tempo ilimitado, isto é
\displaystyle \int_{0}^{\infty}F(t)\,dt.
– (b) o domínio e o alcance (range) de F, e um esboço qualitativo do gráfico, achando o máximo de F(t).
– (c) a carga armazenada nos primeiros 1 minuto, isto é
\displaystyle \int_{0}^{1}F(t)\,dt.

Passo 2

Para (a) calculamos
\int_{0}^{\infty}512\,t^{3}e^{-4t}\,dt.
Usamos a fórmula de Gamma:
\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-a t}\,dt = \frac{n!}{a^{\,n+1}},
aqui n=3 e a=4. Logo
\int_{0}^{\infty}t^{3}e^{-4t}\,dt = \frac{3!}{4^{4}} = \frac{6}{256} = \frac{3}{128}.
Multiplicando por 512:
512 \times \frac{3}{128} = 4 \times 3 = 12.
Portanto, a carga máxima armazenável é 12 unidades de carga.

Passo 3

Para (b), primeiro o domínio natural de F é
t\ge 0,
pois a função descreve tempo desde a conexão. Em t=0 e t\to\infty temos
F(0)=0, \quad \lim_{t\to\infty}F(t)=0.
O gráfico sobe até um pico e depois decai. Para achar o pico, derivamos:
F'(t) =512\,e^{-4t}\bigl(3t^{2}-4t^{3}\bigr) =512\,t^{2}e^{-4t}(3-4t).
Zerando F'(t) t=0 (mínimo) ou t=\tfrac{3}{4} (máximo). Logo o máximo ocorre em t=\tfrac{3}{4} min, valendo
F\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr) =512\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{3}e^{-3} =216\,e^{-3}.
Portanto o alcance (range) é
0 \le F(t) \le 216\,e^{-3}.
O esboço do gráfico é uma curva que parte de zero, atinge 216e^{-3} em t=0{,}75 e volta a zero conforme t\to\infty.

Passo 4

Para (c) integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}512\,t^{3}e^{-4t}\,dt.
Usamos a substituição u=4t, dt=\tfrac{du}{4}, ficando
512\int_{0}^{1}t^{3}e^{-4t}\,dt =512\int_{0}^{4}\bigl(\tfrac{u}{4}\bigr)^{3}e^{-u}\,\frac{du}{4} =2\int_{0}^{4}u^{3}e^{-u}\,du.
Sabendo que
\int_{0}^{x}u^{3}e^{-u}\,du =3!\Bigl[1 - e^{-x}\sum_{k=0}^{3}\frac{x^{k}}{k!}\Bigr],
para x=4 temos
\int_{0}^{4}u^{3}e^{-u}\,du =6\Bigl[1 - e^{-4}\Bigl(1+4+\tfrac{4^{2}}{2!}+\tfrac{4^{3}}{3!}\Bigr)\Bigr] =6\Bigl[1 - \tfrac{71}{3}e^{-4}\Bigr].
Multiplicando por 2:
\int_{0}^{1}512\,t^{3}e^{-4t}\,dt =12\Bigl[1 - \tfrac{71}{3}e^{-4}\Bigr] =12 \;-\; 284\,e^{-4} \approx 6{,}798.

Resposta

a. A carga máxima armazenável é 12 unidades de carga.
b. Domínio: [0,\infty).
Alcance: [0,\,216\,e^{-3}], com máximo 216e^{-3} em t=0{,}75.
c. A carga acumulada no primeiro minuto é
12 \;-\; 284\,e^{-4} \\ \approx\\\ 6{,}80
unidades de carga.

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