Calcule:
A=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\operatorname{sen} \theta)^{2} \cdot(\cos \theta)^{5} d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular
A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\operatorname{sen} \theta)^{2}\,(\cos \theta)^{5}\,d\theta.
O conteúdo é integração de potências de seno e cosseno. Quando a potência de cosseno é ímpar, é comum usar a identidade \cos^{2}\theta = 1 - \operatorname{sen}^{2}\theta e a substituição u = \operatorname{sen} \theta.

Passo 2

Escrevemos (\cos \theta)^{5} = (\cos \theta)^{4}\,\cos \theta = (1 - \operatorname{sen}^{2}\theta)^{2}\,\cos \theta. Assim,
A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\operatorname{sen} \theta)^{2}\,(1 - \operatorname{sen}^{2}\theta)^{2}\,\cos \theta\,d\theta.
Fazemos a substituição
u = \operatorname{sen} \theta, \quad du = \cos \theta\,d\theta,
e, em \theta=0 temos u=0; em \theta=\frac{\pi}{2} temos u=1.

Passo 3

Troca de variável na integral:
A = \int_{0}^{1} u^{2}\,(1 - u^{2})^{2}\,du.

Passo 4

Expandimos o integrando:
u^{2}(1 - u^{2})^{2} = u^{2}(1 - 2u^{2} + u^{4}) = u^{2} - 2u^{4} + u^{6}.
Logo,
A = \int_{0}^{1} \bigl(u^{2} - 2u^{4} + u^{6}\bigr)\,du = \left[\frac{u^{3}}{3} - 2\,\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}\right]_{0}^{1}.

Passo 5

Calculando nos limites:
A = \frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{1}{7} = \frac{35 - 42 + 15}{105} = \frac{8}{105}.

Resposta

A = \frac{8}{105}.

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