Calcule:
A=\int_{0}^{1} x^{2}(1-x)^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida
A = \int_{0}^{1} x^{2}(1 - x)^{3}\,dx.
O conteúdo envolvido é o uso da função Beta, que permite avaliar integrais da forma
\int_{0}^{1} x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx = B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.
Aqui vamos usar essa fórmula com a-1=2 e b-1=3.

Passo 2

Identificamos
a-1 = 2 \implies a = 3, \quad b-1 = 3 \implies b = 4.
Portanto
A = \int_{0}^{1} x^{2}(1-x)^{3}\,dx = B(3,4).

Passo 3

Pela definição da função Beta e das funções Gama, temos
B(3,4) = \frac{\Gamma(3)\,\Gamma(4)}{\Gamma(3+4)}.
Sabendo que \Gamma(n)=(n-1)! para inteiro positivo n,
\Gamma(3) = 2!, \quad \Gamma(4) = 3!, \quad \Gamma(7) = 6!.

Passo 4

Substituindo esses valores em B(3,4):
B(3,4) = \frac{2!\times 3!}{6!} = \frac{2 \times 6}{720} = \frac{12}{720} = \frac{1}{60}.

Resposta

A = \frac{1}{60}.

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