Éris, o maior planeta anão conhecido no Sistema Solar, tem um raio de
uma aceleração devido à gravidade sobre sua superfície de
.
a) Use esses números para calcular a velocidade de escape da superfície de Éris.
b) Se um corpo é disparado diretamente para cima da superfície de Éris com metade da velocidade de escape, que altura máxima ele atingirá? (Assuma que Éris não tem atmosfera e despreze a rotação.)
a) Use esses números para calcular a velocidade de escape da superfície de Éris.
b) Se um corpo é disparado diretamente para cima da superfície de Éris com metade da velocidade de escape, que altura máxima ele atingirá? (Assuma que Éris não tem atmosfera e despreze a rotação.)
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
-
Dados fornecidos:
- Raio de Éris:
. - Aceleração da gravidade na superfície:
. - Assuma que Éris não tem atmosfera e despreze rotação.
- Raio de Éris:
-
O que é pedido:
- (a) Calcular a velocidade de escape da superfície de Éris.
- (b) Se um corpo é lançado verticalmente para cima com metade da velocidade de escape, encontrar a altura máxima que ele alcança (contar a partir da superfície).
Observação prática sobre unidades (vou padronizar para o SI): o raio em metros é necessário para os cálculos. Portanto converto o raio:
Passo 2
Conceito e fórmula para velocidade de escape — explicação didática e simples.
-
Ideia física: velocidade de escape
é a velocidade mínima que um corpo precisa, na superfície, para chegar ao infinito com velocidade nula (isto é, escapar da atração gravitacional). Usa-se conservação da energia: energia cinética inicial igual à energia potencial gravitacional necessária para levar o corpo ao infinito. -
Fórmula clássica (derivação curta):
- Energia total na superfície ao lançar:
, - Energia no infinito (onde
e potencial gravitacional é zero): . - Igualando
e cancelando : . - Portanto
- Energia total na superfície ao lançar:
-
Relação útil com
: como a aceleração da gravidade na superfície é , podemos eliminar para obter uma fórmula prática:
Aqui:
-
é a velocidade de escape (m/s), -
é a gravidade na superfície (m/s^2), -
é o raio (m).
Essa forma é muito prática quando o enunciado já fornece
e
.
Passo 3
Cálculo numérico da velocidade de escape usando
.
Substituindo os valores (já converti
para metros):
Faço a multiplicação passo a passo:
Logo
Calculando a raiz quadrada:
É comum também expressar em km/s:
Passo 4
Planejamento para a parte (b) — por que não usar
com
constante.
- Se lançarmos com velocidade menor que a de escape, a altura máxima pode ser uma fração significativa do raio do corpo; nesse caso
varia com a altitude e não se pode usar a fórmula que assume constante. - Portanto a forma correta é usar conservação de energia com o potencial gravitacional variável, isto é, o potencial gravitacional de um ponto-massa
. - Vou aplicar conservação de energia entre a superfície (
, velocidade inicial ) e o ponto mais alto ( , velocidade nula).
Passo 5
Equações e manipulação algébrica para encontrar
.
- Energia total inicial (na superfície) para massa
:
- No ponto mais alto (
), a velocidade é zero, então
- Igualando as duas expressões e dividindo por
:
- Reorganizando:
Para simplificar, usei antes a relação
, então
.
- No problema
é metade da velocidade de escape:
- Substituindo
na equação da energia:
O lado esquerdo fica
Substituindo
dá
Assim a equação torna-se
Dividindo por
(não nulo) obtemos
Isolando
:
Portanto
Passo 6
Converter para altura máxima acima da superfície e calcular numericamente.
- A altura máxima medida a partir da superfície é
- Substituindo
:
- Em quilômetros:
Comentário rápido e encorajador: dá pra ver que a altura é uma fração significativa do raio (um terço), então realmente era necessário usar a energia com potencial variável — boa escolha usar física correta mesmo na prova!
Resposta
(a)
(b)
(b)