Éris, o maior planeta anão conhecido no Sistema Solar, tem um raio de \mathrm{R}=1.200 \mathrm{~km} \mathrm{e} uma aceleração devido à gravidade sobre sua superfície de \mathrm{g}=0,77 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{\wedge} 2.
a) Use esses números para calcular a velocidade de escape da superfície de Éris.
b) Se um corpo é disparado diretamente para cima da superfície de Éris com metade da velocidade de escape, que altura máxima ele atingirá? (Assuma que Éris não tem atmosfera e despreze a rotação.)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Dados fornecidos:
    • Raio de Éris: R = 1{,}200\\ \mathrm{km}.
    • Aceleração da gravidade na superfície: g = 0{,}77\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • Assuma que Éris não tem atmosfera e despreze rotação.
  • O que é pedido:
    • (a) Calcular a velocidade de escape da superfície de Éris.
    • (b) Se um corpo é lançado verticalmente para cima com metade da velocidade de escape, encontrar a altura máxima que ele alcança (contar a partir da superfície).
Observação prática sobre unidades (vou padronizar para o SI): o raio em metros é necessário para os cálculos. Portanto converto o raio:
R = 1{,}200\\ \mathrm{km} = 1{,}200\times10^{3}\\ \mathrm{m} = 1{,}200{,}000\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito e fórmula para velocidade de escape — explicação didática e simples.
  • Ideia física: velocidade de escape v_{\text{esc}} é a velocidade mínima que um corpo precisa, na superfície, para chegar ao infinito com velocidade nula (isto é, escapar da atração gravitacional). Usa-se conservação da energia: energia cinética inicial igual à energia potencial gravitacional necessária para levar o corpo ao infinito.
  • Fórmula clássica (derivação curta):
    • Energia total na superfície ao lançar: E = \dfrac{1}{2} m v_{\text{esc}}^{2} - \dfrac{G M m}{R},
    • Energia no infinito (onde v=0 e potencial gravitacional é zero): E_{\infty}=0.
    • Igualando E=0 e cancelando m: \dfrac{1}{2}v_{\text{esc}}^{2} = \dfrac{G M}{R}.
    • Portanto \displaystyle v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2 G M}{R}}.
  • Relação útil com g: como a aceleração da gravidade na superfície é \displaystyle g=\dfrac{G M}{R^{2}}, podemos eliminar G M para obter uma fórmula prática:
\boxed{\displaystyle v_{\text{esc}} = \sqrt{2 g R}}
Aqui:
  • v_{\text{esc}} é a velocidade de escape (m/s),
  • g é a gravidade na superfície (m/s^2),
  • R é o raio (m).
Essa forma é muito prática quando o enunciado já fornece g e R.

Passo 3

Cálculo numérico da velocidade de escape usando \displaystyle v_{\text{esc}}=\sqrt{2 g R}.
Substituindo os valores (já converti R para metros):
2 g R = 2\cdot 0{,}77\cdot 1{,}200{,}000.
Faço a multiplicação passo a passo:
2\cdot 0{,}77 = 1{,}54, \qquad 1{,}54\cdot 1{,}200{,}000 = 1{,}848{,}000.
Logo
v_{\text{esc}} = \sqrt{1{,}848{,}000}\\ \mathrm{m/s}.
Calculando a raiz quadrada:
v_{\text{esc}} \approx 1{,}359\\ \mathrm{m/s}.
É comum também expressar em km/s:
v_{\text{esc}} \approx 1{,}36\\ \mathrm{km/s}.

Passo 4

Planejamento para a parte (b) — por que não usar v^{2}=2gh com g constante.
  • Se lançarmos com velocidade menor que a de escape, a altura máxima pode ser uma fração significativa do raio do corpo; nesse caso g varia com a altitude e não se pode usar a fórmula v^{2}=2gh que assume g constante.
  • Portanto a forma correta é usar conservação de energia com o potencial gravitacional variável, isto é, o potencial gravitacional de um ponto-massa \displaystyle U(r) = -\dfrac{G M m}{r}.
  • Vou aplicar conservação de energia entre a superfície ( r=R, velocidade inicial v_{0}) e o ponto mais alto ( r=r_{\max}, velocidade nula).

Passo 5

Equações e manipulação algébrica para encontrar r_{\max}.
  • Energia total inicial (na superfície) para massa m:
E = \dfrac{1}{2} m v_{0}^{2} - \dfrac{G M m}{R}.
  • No ponto mais alto ( r=r_{\max}), a velocidade é zero, então
E = -\dfrac{G M m}{r_{\max}}.
  • Igualando as duas expressões e dividindo por m:
\dfrac{1}{2} v_{0}^{2} - \dfrac{G M}{R} = -\dfrac{G M}{r_{\max}}.
  • Reorganizando:
\dfrac{1}{2} v_{0}^{2} = G M\!\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r_{\max}}\right).
Para simplificar, usei antes a relação \displaystyle v_{\text{esc}}^{2}=\dfrac{2 G M}{R}, então \displaystyle G M=\dfrac{v_{\text{esc}}^{2}R}{2}.
  • No problema v_{0} é metade da velocidade de escape:
v_{0} = \dfrac{v_{\text{esc}}}{2} \quad\Rightarrow\quad v_{0}^{2} = \dfrac{v_{\text{esc}}^{2}}{4}.
  • Substituindo v_{0}^{2} na equação da energia:
\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{v_{\text{esc}}^{2}}{4} = G M\!\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r_{\max}}\right).
O lado esquerdo fica
\dfrac{1}{8} v_{\text{esc}}^{2}.
Substituindo v_{\text{esc}}^{2} = \dfrac{2 G M}{R}
\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{2 G M}{R} = \dfrac{G M}{4 R}.
Assim a equação torna-se
\dfrac{G M}{4 R} = G M\!\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r_{\max}}\right).
Dividindo por G M (não nulo) obtemos
\dfrac{1}{4 R} = \dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r_{\max}}.
Isolando 1/r_{\max}:
\dfrac{1}{r_{\max}} = \dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{4 R} = \dfrac{3}{4 R}.
Portanto
r_{\max} = \dfrac{4 R}{3}.

Passo 6

Converter para altura máxima acima da superfície e calcular numericamente.
  • A altura máxima medida a partir da superfície é
h_{\max} = r_{\max} - R = \dfrac{4R}{3} - R = \dfrac{R}{3}.
  • Substituindo R = 1{,}200{,}000\\ \mathrm{m}:
h_{\max} = \dfrac{1{,}200{,}000}{3}\\ \mathrm{m} = 400{,}000\\ \mathrm{m}.
  • Em quilômetros:
h_{\max} = 400\\ \mathrm{km}.
Comentário rápido e encorajador: dá pra ver que a altura é uma fração significativa do raio (um terço), então realmente era necessário usar a energia com potencial variável — boa escolha usar física correta mesmo na prova!

Resposta

(a) v_{\text{esc}} \approx 1{,}359\\ \mathrm{m/s}\approx 1{,}36\\ \mathrm{km/s}
(b) h_{\max} = 400{,}000\\ \mathrm{m} = 400\\ \mathrm{km}

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