Erwin Schrödinger, através dos estudos de Heisenberg e De Broglie, criou a equação de onda, equação matemáticamente dada por \Psi, porém, \Psi^{2} tem outro significado. Explique o que a equação determina.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar o que a equação de onda de Schrödinger determina, lembrando que ela fornece a função de onda \Psi(\mathbf r,t) e que o quadrado \Psi^2 tem interpretação diferente. O conteúdo aqui é mecânica quântica, mais precisamente a equação de Schrödinger e a interpretação probabilística de Born.

Passo 2

A forma dependente do tempo da equação de Schrödinger é
i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\,\Psi(\mathbf r,t) = \hat H\,\Psi(\mathbf r,t),
onde \hbar é a constante de Planck reduzida e \hat H é o hamiltoniano (energia total do sistema, somando termos cinético e potencial). Essa equação determina como a amplitude de onda \Psi(\mathbf r,t) evolui no tempo e, resolvendo-se o problema estacionário, gera autovalores de energia e autofunções associadas.

Passo 3

Matematicamente, \Psi(\mathbf r,t) é uma amplitude complexa que não representa diretamente uma quantidade física mensurável. Para extrair resultados físicos, empregamos o operador hamiltoniano e as condições de contorno para encontrar as soluções \Psi_n(\mathbf r,t) e seus correspondentes valores de energia E_n. Esses E_n são os espectros de energia permitidos para o sistema.

Passo 4

A interpretação de Born diz que o valor
P(\mathbf r,t)\,d^3r = \bigl|\Psi(\mathbf r,t)\bigr|^2\,d^3r
é a probabilidade de encontrar a partícula na região infinitesimal d^3r em torno de \mathbf r no instante t. Ou seja, \Psi^2 (mais precisamente |\Psi|^2) é uma densidade de probabilidade no espaço.

Resposta

A equação de Schrödinger determina a evolução temporal da função de onda \Psi(\mathbf r,t) e o espectro de energias permitidas do sistema. Seu quadrado \bigl|\Psi(\mathbf r,t)\bigr|^2 fornece a densidade de probabilidade de se encontrar a partícula em cada ponto do espaço e instante de tempo.

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