Esboçar o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo envolvido é análise de funções por derivadas: domínio, monotonicidade, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas oblíquas.
Passo 2
Determinar domínio e continuidade. A função
e
estão definidas e contínuas para todo
. Logo,
e
é contínua em toda reta real.
Passo 3
Calcular
para estudar monotonicidade.
Como
para todo
, temos
Logo,
é estritamente crescente em todo
e não há extremos locais.
Passo 4
Calcular
para concavidade e inflexão.
– Para
,
: concavidade para cima.
– Para ,
: concavidade para baixo.
Em temos
e troca de sinal, logo
é ponto de inflexão. O ponto correspondente é
– Para
Em
isto é,
.
Passo 5
Estudar assíntotas oblíquas em
.
Para ,
, então
Para
Há assíntota oblíqua
Para
,
, logo
com assíntota oblíqua
Passo 6
Interceptos com os eixos.
– Em ,
: intercepto no ponto
.
– A equação vira
. Como
é estritamente crescente e vale zero em
, essa é a única raiz.
– Em
– A equação
Passo 7
Juntando tudo, o gráfico de
é uma curva crescente que passa pela origem, com ponto de inflexão em
, concava para cima à esquerda e para baixo à direita, e aproxima-se das retas
Resposta
O esboço de
mostra:
– Crescimento estrito em todo
.
– Ponto de inflexão em .
– Concavidade para cima se e para baixo se
.
– Assíntotas oblíquas
– Ponto de inflexão em
– Concavidade para cima se
– Assíntotas oblíquas