Esboçar o gráfico de f(x)=\frac{x}{2}+\arctan x.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=\frac{x}{2}+\arctan x.
O conteúdo envolvido é análise de funções por derivadas: domínio, monotonicidade, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas oblíquas.

Passo 2

Determinar domínio e continuidade. A função x/2 e \arctan x estão definidas e contínuas para todo x\in\mathbb{R}. Logo,
\text{Domínio}(f)=(-\infty,\infty),í
e f é contínua em toda reta real.

Passo 3

Calcular f'(x) para estudar monotonicidade.
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)+\frac{d}{dx}(\arctan x) =\frac12+\frac{1}{1+x^2}.
Como \frac{1}{1+x^2}>0 para todo x, temos
f'(x)>\frac12>0\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Logo, f é estritamente crescente em todo \mathbb{R} e não há extremos locais.

Passo 4

Calcular f''(x) para concavidade e inflexão.
f''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac12+\frac{1}{1+x^2}\Bigr) =-\frac{2x}{(1+x^2)^2}.
– Para x<0, f''(x)>0: concavidade para cima.
– Para x>0, f''(x)<0: concavidade para baixo.
Em x=0 temos f''(0)=0 e troca de sinal, logo x=0 é ponto de inflexão. O ponto correspondente é
f(0)=0+\arctan0=0,
isto é, (0,0).

Passo 5

Estudar assíntotas oblíquas em x\to\pm\infty.
Para x\to+\infty, \arctan x\to\frac{\pi}{2}, então
f(x)=\frac{x}{2}+\arctan x \sim \frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}.
Há assíntota oblíqua
y=\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}.
Para x\to-\infty, \arctan x\to-\frac{\pi}{2}, logo
f(x)\sim \frac{x}{2}-\frac{\pi}{2},
com assíntota oblíqua
y=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Interceptos com os eixos.
– Em x=0, f(0)=0: intercepto no ponto (0,0).
– A equação f(x)=0 vira \tfrac{x}{2}+\arctan x=0. Como \tfrac{x}{2}+\arctan x é estritamente crescente e vale zero em x=0, essa é a única raiz.

Passo 7

Juntando tudo, o gráfico de f é uma curva crescente que passa pela origem, com ponto de inflexão em (0,0), concava para cima à esquerda e para baixo à direita, e aproxima-se das retas
y=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2} \quad\text{(quando \(x\to-\infty\)),}
y=\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2} \quad\text{(quando \(x\to+\infty\)).}

Resposta

O esboço de f(x)=\tfrac{x}{2}+\arctan x mostra:
– Crescimento estrito em todo \mathbb{R}.
– Ponto de inflexão em (0,0).
– Concavidade para cima se x<0 e para baixo se x>0.
– Assíntotas oblíquas
y=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2},\quad y=\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}.

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