Esboçar o gráfico das seguintes funçôcs vetoriais:
\bar{w}(t)=t^{2} i+t j

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva descrita pela função vetorial \bar{w}(t)=t^{2}\,\mathbf{i}+t\,\mathbf{j}.
O conteúdo é traçado de curva paramétrica no plano, e vamos usar as componentes cartesianas para entender a forma e a orientação dessa curva.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas paramétricas extraídas de \bar{w}(t):
x(t)=t^{2},\quad y(t)=t,
com t\in\mathbb{R}. Isso nos dá um ponto (x,y) para cada valor de t.

Passo 3

Para reconhecer a forma da curva, eliminamos o parâmetro t. Como y(t)=t, temos t=y. Substituindo em x(t):
x = (y)^{2}.
Portanto a curva é a parábola de equação
x = y^{2}.

Passo 4

Analisamos suas características geométricas:
  • Vértice na origem (0,0).
  • Abertura para a direita (eixo x positivo).
  • Simétrica em relação ao eixo y.
  • Domínio em x\ge0 e y\in\mathbb{R}.

Passo 5

Agora a orientação (sentido de percurso) conforme t cresce:
  • Para t<0, y<0 e x>0; à medida que t aumenta de -\infty até 0, o ponto vem de (+\infty, -\infty) pelo ramo inferior em direção a (0,0).
  • Para t>0, y>0 e x>0; conforme t vai de 0 a +\infty, o ponto sai de (0,0) e segue pelo ramo superior em direção a (+\infty,+\infty).
    Exemplos de pontos notáveis: \;t=-2\mapsto(4,-2),\;t=-1\mapsto(1,-1),\;t=0\mapsto(0,0),\;t=1\mapsto(1,1),\;t=2\mapsto(4,2).

Resposta

O gráfico de \bar{w}(t) é a parábola
x=y^{2}
com vértice em (0,0), abertura para a direita e orientação que vai do ramo inferior (quando t aumenta de -\infty a 0) até o ramo superior (quando t vai de 0 a +\infty).

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