Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais: g(t) = 6 sen(t) i + 4 j + 25 cos(t) k, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos esboçar o hodógrafo da função vetorial no intervalo de a 0. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de movimentos vetoriais e a representação gráfica chamada hodógrafo. Para resolver, vamos precisar entender como representar graficamente funções vetoriais no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um hodógrafo. O hodógrafo é a trajetória descrita pelo vetor velocidade de uma partícula em função do tempo. Para esboçá-lo, precisamos analisar as componentes vetoriais da função .

Passo 3

Decompondo a função vetorial:
Isso significa que as componentes são:

Passo 4

Observando as componentes, vemos que a coordenada y é constante, igual a . Já as coordenadas x e z variam sinusoidalmente com t. Isso indica que o movimento ocorre em um plano paralelo ao plano x- z, deslocado no eixo y.

Passo 5

Como e , podemos reescrever essas equações para identificar a forma da trajetória:
Dividindo a equação de por x:
Dividindo a equação de por :
z
Sabemos que , então:

Passo 6

A equação representa uma elipse no plano x- z, com semi-eixo maior de unidades na direção z e semi-eixo menor de unidades na direção x. O hodógrafo, portanto, é uma elipse situada no plano .

Resposta

O hodógrafo da função vetorial é uma elipse no plano , com semi-eixos de unidades na direção x e unidades na direção z, descrita pela equação:

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