Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos esboçar o hodógrafo da função vetorial no intervalo de
a
. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de movimentos vetoriais e a representação gráfica chamada hodógrafo. Para resolver, vamos precisar entender como representar graficamente funções vetoriais no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um hodógrafo. O hodógrafo é a trajetória descrita pelo vetor velocidade de uma partícula em função do tempo. Para esboçá-lo, precisamos analisar as componentes vetoriais da função
.
Passo 3
Decompondo a função vetorial:
Isso significa que as componentes são:
Passo 4
Observando as componentes, vemos que a coordenada
é constante, igual a
. Já as coordenadas
e
variam sinusoidalmente com
. Isso indica que o movimento ocorre em um plano paralelo ao plano
-
, deslocado no eixo
.
Passo 5
Como e
, podemos reescrever essas equações para identificar a forma da trajetória:
Dividindo a equação de
por
:
Dividindo a equação de
por
:
Sabemos que , então:
Passo 6
A equação
representa uma elipse no plano
-
, com semi-eixo maior de
unidades na direção
e semi-eixo menor de
unidades na direção
. O hodógrafo, portanto, é uma elipse situada no plano
.
Resposta
O hodógrafo da função vetorial
é uma elipse no plano
, com semi-eixos de
unidades na direção
e
unidades na direção
, descrita pela equação: