Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais: r(t) = 2i + 4j + t k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o hodógrafo da função vetorial r(t) = 2i + 4j + t k. Primeiro, o que é hodógrafo? É basicamente o gráfico da velocidade de uma partícula em função do tempo. Então, a gente vai precisar calcular a velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Para encontrar a velocidade, vamos derivar cada componente da função vec(r)(t) em relação ao tempo t. A função dada é:
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a t é , porque é uma constante.
  • A derivada de em relação a t é , também uma constante.
  • A derivada de em relação a t é .
Então, a velocidade vec(v)(t) é:

Passo 3

Agora que temos a função de velocidade, vamos entender o hodógrafo. O hodógrafo é o gráfico dessa função de velocidade no espaço. No nosso caso, a velocidade é constante e igual a k, o que significa que a partícula está se movendo sempre na direção positiva do eixo k, sem mudar de direção ou intensidade.

Passo 4

Para esboçar o hodógrafo, representamos a velocidade vec(v)(t) como um vetor no espaço tridimensional. Como a velocidade é constante e igual a k, o hodógrafo será simplesmente um vetor fixo apontando na direção positiva do eixo k.

Resposta

O hodógrafo da função vetorial r(t) = 2i + 4j + t k é um vetor constante , representado por uma seta fixa no espaço apontando na direção positiva do eixo k.

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