Esboce cada uma das seguintes funções abaixo.
x[n]=(0,8)^{n} u[n]

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a função discreta
x[n] = (0,8)^{n}\,u[n].
Informações dadas:
  • A expressão é x[n]=(0,8)^{n}u[n].
  • u[n] é o degrau unitário discreto (função que aparece aqui).
    O objetivo é desenhar (esboçar) os valores de x[n] para os inteiros n.

Passo 2

Definição do degrau unitário discreto e consequência imediata:
u[n]=\begin{cases} 1, & n\ge 0,\\[4pt] 0, & n<0. \end{cases}
Substituindo em x[n] obtemos a forma peça-por-peça (que é o que vamos realmente desenhar):
x[n]=\begin{cases} (0,8)^n, & n\ge 0,\\[4pt] 0, & n<0. \end{cases}]

Passo 3

Entendendo a expressão (0,8)^n: para n inteiro não negativo isso é uma sequência geométrica. Propriedades úteis:
  • A base é 0,8 (positivo e menor que 1), logo a sequência é positiva e decrescente em n.
  • Para n=0 vale (0,8)^0=1. Para n=1 vale (0,8)^1=0,8, e assim por diante.
Vamos calcular alguns valores para facilitar o esboço (cálculos mostrados passo a passo):
x[0]=(0,8)^0=1.
x[1]=(0,8)^1=0,8.
x[2]=(0,8)^2=0,8\cdot0,8=0,64.
x[3]=(0,8)^3=0,64\cdot0,8=0,512.
x[4]=(0,8)^4=0,512\cdot0,8=0,4096.
x[5]=(0,8)^5=0,4096\cdot0,8=0,32768\\ (\approx 0,328).
Esses pontos já mostram bem a forma da sequência: 1,\\\ 0,8,\\\ 0,64,\\\ 0,512,\\\ 0,4096,\\ \dots

Passo 4

Comportamento à medida que n cresce:
\lim_{n\to\infty}(0,8)^n=0,
porque 0,8 está entre -1 e 1. Logo os pontos decaem geometricamente e se aproximam de zero. Para n<0 a função é exatamente zero por causa do degrau, então o sinal é causal (não existe antes de n=0).

Passo 5

Instruções claras para esboçar (faça isto na sua folha — isso é o desenho que o professor espera):
  • Desenhe um eixo horizontal para n (marque inteiros: \dots,-2,-1,0,1,2,3,4,\dots) e eixo vertical para x[n].
  • Para n<0 coloque os valores x[n]=0 (no eixo).
  • Para n\ge 0 faça um diagrama do tipo stem plot: em n=0 um segmento vertical até 1 com um marcador (ponto) no topo; em n=1 um segmento até 0,8; em n=2 até 0,64; em n=3 até 0,512; em n=4 até 0,4096; etc.
  • Não conecte os pontos com uma linha contínua — deixe os traços verticais (stems) que mostram que a sequência é definida apenas em inteiros.
  • Se quiser, desenhe uma linha tracejada horizontal em x=0 como assíntota que os pontos vão se aproximando.
  • Se precisar de mais pontos para ver o decaimento, calcule x[10]=(0,8)^{10}\approx 0,1074 (mostra que já ficou bem pequeno).
Dica prática: ao fazer à mão, marcar até n=6 ou n=8 geralmente basta para ver o comportamento (valores caem rápido).

Passo 6

Observações finais úteis para a prova:
  • A função é causal (zero para n<0).
  • É uma sequência geométrica positiva e exponencialmente decrescente para n\ge0.
  • A série absoluta soma-se a uma série geométrica convergente:
\sum_{n=0}^{\infty} (0,8)^n = \frac{1}{1-0,8}=5,
o que confirma que a energia/amplitude total é finita (útil se a questão pedir convergência).

Resposta

x[n]=\begin{cases} (0,8)^n, & n\ge 0,\\[4pt] 0, & n<0, \end{cases}
Valores exemplares: x[0]=1,\\ x[1]=0,8,\\ x[2]=0,64,\\ x[3]=0,512,\\ x[4]=0,4096,\\ \dots]

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