Para os sistemas LCIT especificados pelas equações abaixo, determine a equação característica, as raízes características e y_{0}(t), a componente de entrada nula da resposta y(t), dadas as condições iniciais.
D(D+1) y(t)=(D+2) x(t) ; y_{0}(0)=1 ; \dot{y}_{0}(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de um sistema LCIT e pede a componente de entrada nula y_{0}(t) (ou seja, a resposta homogênea) juntamente com a equação característica e as raízes características. Dados fornecidos:
  • Equação do sistema: D(D+1)\,y(t)=(D+2)\,x(t).
  • Condições iniciais para a parte de entrada nula: y_{0}(0)=1 e \dot{y}_{0}(0)=1.
    O que se pede:
  • A equação característica.
  • As raízes características.
  • A função y_{0}(t), a componente de entrada nula, satisfazendo as condições iniciais acima.

Passo 2

Interpretando a notação D: D é o operador derivada temporal, ou seja D=\dfrac{d}{dt}. Para obter a componente de entrada nula y_{0}(t) devemos anular a entrada x(t) (colocar x(t)=0): isso gera a equação homogênea
D(D+1)\,y_{0}(t)=0.
Expandindo o operador D(D+1)=D^{2}+D, a equação homogênea fica em forma diferencial habitual:
y_{0}''(t)+y_{0}'(t)=0.

Passo 3

Para resolver uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes assumimos uma solução do tipo y_{0}(t)=e^{r t}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica (polinômio característico):
r^{2}+r=0.
Podemos escrever também em forma fatorada:
r(r+1)=0.

Passo 4

Resolvendo a equação característica r(r+1)=0 obtemos as raízes:
r_{1}=0,\qquad r_{2}=-1.
Como são duas raízes reais e distintas, a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes.

Passo 5

A solução geral da equação homogênea é
y_{0}(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}=C_{1}+C_{2}e^{-t},
pois e^{0\cdot t}=1. Agora calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y_{0}'(t)=0 - C_{2}e^{-t}=-C_{2}e^{-t}.
Avaliar em t=0 dá o sistema para C_{1},C_{2}:
y_{0}(0)=C_{1}+C_{2}=1,
y_{0}'(0)=-C_{2}=1.

Passo 6

Resolver o sistema obtido:
Da segunda equação vem
-C_{2}=1\quad\Rightarrow\quad C_{2}=-1.
Substituindo na primeira:
C_{1}+(-1)=1\quad\Rightarrow\quad C_{1}=2.
Portanto a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y_{0}(t)=2- e^{-t}.

Passo 7

Verificação rápida (para ficar tranquilo): calcular y_{0}'(t) e y_{0}''(t):
y_{0}'(t)= e^{-t},\qquad y_{0}''(t)=-e^{-t},
logo y_{0}''+y_{0}'=-e^{-t}+e^{-t}=0, satisfazendo a equação homogênea, e y_{0}(0)=2-1=1, y_{0}'(0)=1 confirmam as condições iniciais.

Resposta

\text{Equação característica: }r(r+1)=0çãí
\text{Raízes características: }r_{1}=0,\;r_{2}=-1íí
\displaystyle y_{0}(t)=2-e^{-t}

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