Para os sistemas LCIT especificados pelas equações abaixo, determine a equação característica, as raízes características e
, a componente de entrada nula da resposta
, dadas as condições iniciais.
D(D+1) y(t)=(D+2) x(t) ; y_{0}(0)=1 ; \dot{y}_{0}(0)=1
D(D+1) y(t)=(D+2) x(t) ; y_{0}(0)=1 ; \dot{y}_{0}(0)=1
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de um sistema LCIT e pede a componente de entrada nula
(ou seja, a resposta homogênea) juntamente com a equação característica e as raízes características. Dados fornecidos:
- Equação do sistema:
. - Condições iniciais para a parte de entrada nula:
e .
O que se pede: - A equação característica.
- As raízes características.
- A função
, a componente de entrada nula, satisfazendo as condições iniciais acima.
Passo 2
Interpretando a notação
:
é o operador derivada temporal, ou seja
. Para obter a componente de entrada nula
devemos anular a entrada
(colocar
): isso gera a equação homogênea
Expandindo o operador
, a equação homogênea fica em forma diferencial habitual:
Passo 3
Para resolver uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica (polinômio característico):
Podemos escrever também em forma fatorada:
Passo 4
Resolvendo a equação característica
obtemos as raízes:
Como são duas raízes reais e distintas, a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes.
Passo 5
A solução geral da equação homogênea é
pois
. Agora calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
Avaliar em
dá o sistema para
:
Passo 6
Resolver o sistema obtido:
Da segunda equação vem
Da segunda equação vem
Substituindo na primeira:
Portanto a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
Passo 7
Verificação rápida (para ficar tranquilo): calcular
e
:
logo
, satisfazendo a equação homogênea, e
,
confirmam as condições iniciais.