Esboce e calcule a área da regiāo delimitada pelas curvas y = 2 x^2 e y = x^2 + 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar (esboçar) e calcular a área da região que está entre as curvas e . Vamos usar conhecimentos de Geometria Analítica e Cálculo Integral para resolver isso. Precisamos entender como essas funções se comportam, encontrar onde elas se cruzam e, finalmente, calcular a área entre elas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso significa resolver a equação . Fazendo isso, temos:
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos entender qual delas está por cima nesse intervalo. Vamos escolher um valor de entre -2 e 2, por exemplo, :
Como , a curva está acima da curva nesse intervalo.

Passo 4

Para calcular a área entre as duas curvas de a , usamos a integral da diferença das funções superior e inferior. A fórmula geral para a área é:
Onde é a função de cima e a de baixo. No nosso caso:

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Primeiro, integraremos termo a termo:
Agora, aplicamos os limites de integração de -2 a 2:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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