Esboce a curva em coordenadas polares:
r=4+3 \cos \theta

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva dada em coordenadas polares por
r = 4 + 3\cos\theta.
Conteúdo: curvas polares do tipo limacon de Pascal. Vamos usar
– simetria da função em \theta;
– pontos notáveis (valores de r em certos \theta);
– classificação do limacon (se há laço, dente, etc.).

Passo 2

Verificamos a simetria. Como aparece \cos\theta, a curva é simétrica em relação ao eixo polar ( \theta=0, ou “eixo x-horizontal”).

Passo 3

Encontrar extremos de r.
r(\theta)=4+3\cos\theta,\quad \frac{dr}{d\theta}=-3\sin\theta=0
implica \sin\theta=0, ou seja \theta=0 ou \theta=\pi.
– Em \theta=0:
r_{\max}=4+3\cos0=4+3\cdot1=7.
– Em \theta=\pi:
r_{\min}=4+3\cos\pi=4+3\cdot(-1)=1.
Como r_{\min}>0, não há laço; trata-se de um limacon sem laço (com “dente”, pois 4>3 mas próximos).

Passo 4

Calcular valores de r em ângulos retos e colaterais para orientar o esboço:
\theta=\tfrac{\pi}{2}:
r\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=4+3\cos\tfrac{\pi}{2}=4+0=4.
\theta=\tfrac{3\pi}{2}:
r\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=4+3\cos\tfrac{3\pi}{2}=4+0=4.
\theta=\tfrac{\pi}{3}:
r\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=4+3\cdot\tfrac12=4+1{,}5=5{,}5.
\theta=\tfrac{2\pi}{3}:
r\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=4+3\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr)=4-1{,}5=2{,}5.

Passo 5

Não existem soluções reais de 4+3\cos\theta=0 (isto daria \cos\theta=-\tfrac{4}{3}), logo r nunca zera e a curva não cruza a origem.

Passo 6

Com esses pontos em mãos, procede-se a colocar no plano polar:
– No eixo positivo \theta=0 chega em r=7.
– No sentido contrário \theta=\pi chega em r=1.
– Nos vértices vertical acima e abaixo \theta=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2} chega em r=4.
– Entre esses, interpola-se suavemente para obter o típico “dente” na parte de trás (próxima a \theta=\pi), sem fechar laço.

Resposta

A curva é um limacon de Pascal sem laço, simétrico em relação ao eixo horizontal, com:
r_{\max}=7 em \theta=0.
r=4 em \theta=\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{3\pi}{2}.
r_{\min}=1 em \theta=\pi.
Esboce esses quatro pontos e una-os formando o contorno suave típico do limacon “denteado” sem laço.

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