Esboce a curva em coordenadas polares:
r=5-5 \operatorname{sen} \theta

Passo 1

O enunciado pede para esboçar em coordenadas polares a curva
r = 5 - 5\operatorname{sen}\theta\,.
Isso é um caso clássico de cardioide no plano polar, pois tem a forma r = a - a\operatorname{sen}\theta. Para desenhar, vamos precisar
  1. identificar onde r=0 (cúspide),
  2. achar os extremos de r para alguns ângulos-chave,
  3. montar uma “tabela” de (\theta,r),
  4. converter em coordenadas cartesianas para posicionar pontos,
  5. usar simetrias e traçar a curva ligando tudo suavemente.

Passo 2

Encontrar onde r=0 resolve o lugar do cúspide:
5 - 5\operatorname{sen}\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}\theta = 1 \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2}\,.
Logo, em \theta=\tfrac{\pi}{2} a curva passa pelo polo (cúspide).

Passo 3

Calcular r em ângulos principais para ter uma ideia do tamanho e orientação:
Para \theta=0:
r = 5 - 5\cdot 0 = 5,
ponto em coordenadas cartesianas (5,0).
Para \theta=\tfrac{\pi}{4}:
r = 5 - 5\frac{\sqrt2}{2} = 5 - \frac{5\sqrt2}{2}\approx 1{,}46,
na direção 45^\circ.
Para \theta=\tfrac{\pi}{2}:
r = 0
(cúspide no polo).
Para \theta=\pi:
r = 5 - 5\cdot 0 = 5,
ponto (-5,0).
Para \theta=\tfrac{3\pi}{2}:
r = 5 - 5(-1) = 10,
ponto em (0,-10).

Passo 4

Converter resumidamente esses pontos em (x,y) para posicionar no plano:
- \theta=0, r=5 (5,0)
- \theta=\tfrac{\pi}{2}, r=0 (0,0) (cúspide)
- \theta=\pi, r=5 (-5,0)
- \theta=\tfrac{3\pi}{2}, r=10 (0,-10)
Entre esses pontos traçamos arcos suaves, respeitando o aumento/decréscimo de r.

Passo 5

Analisar simetria e orientar o traçado:
  • Como r(\pi-\theta)=5-5\operatorname{sen}(\pi-\theta)=5-5\operatorname{sen}\theta=r(\theta), há simetria em torno do eixo vertical y-axis).
  • Quando \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2}, r cai de 5 a 0, fechando o topo da cardioide.
  • De \tfrac{\pi}{2} a \tfrac{3\pi}{2}, r cresce até 10 em \tfrac{3\pi}{2}, formando “bochechas” inferiores.
  • Finalmente de \tfrac{3\pi}{2} a 2\pi volta para r=5 em \theta=2\pi.
Ligando tudo, obtemos uma cardioide com cúspide no polo, “bochechas” mais largas para baixo (máximo em (0,-10) e simétrica em relação ao eixo y.

Resposta

O esboço é uma cardioide dada por r=5-5\operatorname{sen}\theta, com cúspide no polo para \theta=\tfrac{\pi}{2}, pontos (5,0), (-5,0) e máximo em (0,-10), simétrica em torno do eixo vertical.

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