Esboce a curva em coordenadas polares:
r=-3 \cos \theta

Passo 1

O enunciado pede para esboçar, em coordenadas polares, a curva
r = -3\cos\theta.
O conteúdo envolvido é a identificação de curvas polares e sua conversão para coordenadas cartesianas, para então reconhecer a forma geométrica (neste caso, uma circunferência).

Passo 2

Vamos converter para coordenadas cartesianas. Sabemos que r = \sqrt{x^2+y^2} e \cos\theta = x/r. Substituindo em r = -3\cos\theta e multiplicando ambos os lados por r, obtemos
r^2 = -3x,
ou seja
x^2 + y^2 = -3x.

Passo 3

Para colocar no formato de circunferência, completamos o quadrado em x:
x^2 + 3x + y^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x + \tfrac32\bigr)^2 - \bigl(\tfrac32\bigr)^2 + y^2 = 0
\bigl(x + \tfrac32\bigr)^2 + y^2 = \bigl(\tfrac32\bigr)^2.
Logo, é uma circunferência de centro \bigl(-\tfrac32,0\bigr) e raio \tfrac32.

Passo 4

Em coordenadas polares, r deve ser não negativo para que a representação seja direta. Aqui r=-3\cos\theta\ge0 quando \cos\theta\le0, ou seja para
\theta\in\bigl[\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2\bigr].
Nesse intervalo, o ponto caminha pela circunferência à esquerda do polo, partindo de r=0 em \theta=\tfrac\pi2, indo até r=3 em \theta=\pi (ponto mais distante) e retornando a r=0 em \theta=\tfrac{3\pi}2.

Passo 5

O esboço é portanto a circunferência de raio \tfrac32 centrada em \bigl(-\tfrac32,0\bigr), totalmente à esquerda do polo (origem), passando pelo polo em \theta=\tfrac\pi2 e em \theta=\tfrac{3\pi}2.

Resposta

A curva é a circunferência de centro \bigl(-\tfrac32,0\bigr) e raio \tfrac32, situada à esquerda da origem, dada por
\bigl(x + \tfrac32\bigr)^2 + y^2 = \bigl(\tfrac32\bigr)^2.

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