Esboce a curva em coordenadas polares:
r=5-2 \cos \theta

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares dada por
r = 5 - 2\cos\theta.
Conteúdo: identificação e classificação de curvas do tipo limaçon (limaçon de Pascal) e uso de pontos notáveis para esboço.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão de limaçon:
r = a + b\cos\theta
onde a=5 e b=-2. Curvas dessa forma são classificadas segundo a razão \bigl|\tfrac{a}{b}\bigr|.

Passo 3

Calculamos a razão
\bigl|\tfrac{a}{b}\bigr| = \bigl|\tfrac{5}{-2}\bigr| = 2{,}5 \ge 2.
Para \bigl|\tfrac{a}{b}\bigr|\ge2, o limaçon é convexo, sem alça interna nem reentrância.

Passo 4

Determinamos valores de r em direções-chave:
\begin{aligned} \theta=0\,&:\;r=5-2\cos0=5-2=3,\\\ \theta=\tfrac{\pi}{2}\,&:\;r=5-2\cos\tfrac{\pi}{2}=5-0=5,\\\ \theta=\pi\,&:\;r=5-2\cos\pi=5-2(-1)=7,\\\ \theta=\tfrac{3\pi}{2}\,&:\;r=5-2\cos\tfrac{3\pi}{2}=5-0=5. \end{aligned}

Passo 5

A curva é simétrica em relação ao eixo polar (eixo x no plano cartesiano) porque só aparece \cos\theta.

Passo 6

Para esboçar, marcamos no sistema polar os pontos (3,0), (5,\tfrac{\pi}{2}), (7,\pi), (5,\tfrac{3\pi}{2}) e ligamos por um contorno suave, obtendo um oval ligeiramente “achatado” no lado direito mas totalmente convexo.

Resposta

A curva é um limaçon convexo, simétrico em relação ao eixo polar, com r_{\min}=3 em \theta=0 e r_{\max}=7 em \theta=\pi.

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