Esboce a curva em coordenadas polares:
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares dada por
Este tipo de curva pertence à família dos limacons de Pascal, na forma geral
Para esboçar, vamos identificar sua classificação, pontos notáveis e simetrias.
Passo 2
Comparemos os valores de
e
: aqui
e
. Calculamos
logo o limacon tem um laço interno (porque
).
Passo 3
Calculemos valores de
em ângulos principais:
- Para
:
que, no plano cartesiano, fica no ponto
.
- Para
:
que corresponde a
, isto é, no eixo
negativo, a
.
- Para
:
que vira
no plano cartesiano.
- Para
:
isto é, o ponto
.
Em seguida, achemos onde
:
Nestes ângulos a curva passa pela origem, marcando o início e o fim do laço interno.
Passo 4
Analisemos a simetria e o formato:
- Como a função depende de
, a curva é simétrica em relação ao eixo vertical ( -axis). - Para
entre e temos , o que faz o traçado “flipar” radianos, formando o laço interno acima do eixo . - Fora desse intervalo,
e obtemos o lóbulo principal, que se estende para baixo até .
Passo 5
Com os pontos e comportamentos acima, fazemos um esboço aproximado:
- Marque no eixo
os pontos e . - Desenhe o laço pequeno ligando a origem quando
até voltar à origem em , todo acima do eixo . - A partir daí, siga para baixo o lóbulo maior, passando por
, e voltando a . - Garanta a simetria vertical completando o contorno suave.
Resposta
O esboço é um limaçon de Pascal com laço interno acima do eixo
e lóbulo principal estendido para baixo, simétrico em relação ao eixo
.