Esboce a curva em coordenadas polares:
r=-3-4 \operatorname{sen} \theta

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares dada por
r = -3 - 4 \sin\theta.
Este tipo de curva pertence à família dos limacons de Pascal, na forma geral
r = a + b\sin\theta.
Para esboçar, vamos identificar sua classificação, pontos notáveis e simetrias.

Passo 2

Comparemos os valores de a e b: aqui a=-3 e b=-4. Calculamos
\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{3}{4} = 0{,}75 < 1,
logo o limacon tem um laço interno (porque \lvert a/b\rvert<1).

Passo 3

Calculemos valores de r em ângulos principais:
  • Para \theta=0:
r = -3 - 4\sin0 = -3 \quad\Longrightarrow\quad (r,\theta)=(-3,0)
que, no plano cartesiano, fica no ponto (3,\pi).
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2}:
r = -3 - 4\sin\frac{\pi}{2} = -3 -4 = -7
que corresponde a (7,\tfrac{3\pi}{2}), isto é, no eixo y negativo, a (0,-7).
  • Para \theta=\pi:
r = -3 -4\sin\pi = -3
que vira (3,0) no plano cartesiano.
  • Para \theta=\tfrac{3\pi}{2}:
r = -3 -4\sin\frac{3\pi}{2} = -3 -4(-1) = 1,
isto é, o ponto (0,-1).
Em seguida, achemos onde r=0:
-3 -4\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta = -\tfrac{3}{4} \quad\Longrightarrow\quad \theta_1 \approx 3{,}99,\quad \theta_2 \approx 5{,}43\\ (\text{rad}).
Nestes ângulos a curva passa pela origem, marcando o início e o fim do laço interno.

Passo 4

Analisemos a simetria e o formato:
  • Como a função depende de \sin\theta, a curva é simétrica em relação ao eixo vertical ( y-axis).
  • Para \theta entre \theta_1 e \theta_2 temos r<0, o que faz o traçado “flipar” \pi radianos, formando o laço interno acima do eixo x.
  • Fora desse intervalo, r>0 e obtemos o lóbulo principal, que se estende para baixo até (0,-7).

Passo 5

Com os pontos e comportamentos acima, fazemos um esboço aproximado:
  1. Marque no eixo y os pontos (0,-1) e (0,-7).
  2. Desenhe o laço pequeno ligando a origem quando \theta\approx3{,}99 até voltar à origem em \theta\approx5{,}43, todo acima do eixo x.
  3. A partir daí, siga para baixo o lóbulo maior, passando por (3,0), (0,-7) e voltando a (3,\pi).
  4. Garanta a simetria vertical completando o contorno suave.

Resposta

O esboço é um limaçon de Pascal com laço interno acima do eixo x e lóbulo principal estendido para baixo, simétrico em relação ao eixo y.

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