Esboce a curva em coordenadas polares:
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares dada por
Este é um caso de espiral de Arquimedes (onde o raio cresce linearmente com o ângulo), restrita aos valores não positivos de
. Para resolver, vamos:
- Escrever as equações paramétricas cartesianas.
- Verificar o sinal de
quando e usar a propriedade de raio negativo. - Calcular pontos-chave e inferir o sentido de giro.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas, o ponto
vira
Como
, temos
. Lembrando que
com
equivale a
, o que inverte o sentido do vetor em
.
Passo 3
Para entender o percurso:
- Em
: , começamos no polo. - Ao diminuir
(ficar negativo), cresce e o sinal de é negativo, então o ponto efetivo está no ângulo com raio positivo . - Como
decresce, também decresce, ou seja, o ângulo efetivo diminui — isso corresponde a um movimento horário.
Passo 4
Vamos tabular alguns valores de
e ver para onde o ponto vai:
Desses pontos vemos que a espiral passa sucessivamente por Q II, Q I, Q IV, Q III, sempre se afastando do polo de forma linear.
Passo 5
Concluímos que, para
, a curva é uma espiral de Arquimedes que parte do polo em
e se expande conforme
diminui, girando no sentido horário. A distância ao polo cresce de modo proporcional a
.
Resposta
A curva é uma espiral de Arquimedes iniciando no polo
em
e, à medida que
vai para valores negativos, se afasta linearmente do centro, desenhando voltas no sentido horário.