Esboce a curva em coordenadas polares:
r=4 \theta, \theta \leq 0

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares dada por
r = 4\theta,\quad \theta \le 0.
Este é um caso de espiral de Arquimedes (onde o raio cresce linearmente com o ângulo), restrita aos valores não positivos de \theta. Para resolver, vamos:
  1. Escrever as equações paramétricas cartesianas.
  2. Verificar o sinal de r quando \theta\le0 e usar a propriedade de raio negativo.
  3. Calcular pontos-chave e inferir o sentido de giro.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, o ponto (r,\theta) vira
x = r\cos\theta = 4\theta\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta = 4\theta\sin\theta.
Como \theta\le0, temos r=4\theta\le0. Lembrando que (r,\theta) com r<0 equivale a (-r,\theta+\pi), o que inverte o sentido do vetor em 180\circ.

Passo 3

Para entender o percurso:
  • Em \theta=0: r=0, começamos no polo.
  • Ao diminuir \theta (ficar negativo), |r| cresce e o sinal de r é negativo, então o ponto efetivo está no ângulo \theta+\pi com raio positivo -4\theta.
  • Como \theta decresce, \theta+\pi também decresce, ou seja, o ângulo efetivo diminui — isso corresponde a um movimento horário.

Passo 4

Vamos tabular alguns valores de \theta\le0 e ver para onde o ponto vai:
\begin{array}{c|c|c|c} \theta & r=4\theta & \text{ângulo efetivo} & \text{raio positivo} \\\ \hline 0 & 0 & \text{indefinido (polo)} & 0 \\\\ -\tfrac{\pi}{4} & -\pi & -\tfrac{\pi}{4}+\pi=\tfrac{3\pi}{4} & \pi \\\\ -\tfrac{\pi}{2} & -2\pi & -\tfrac{\pi}{2}+\pi=\tfrac{\pi}{2} & 2\pi \\\\ -\pi & -4\pi & -\pi+\pi=0 & 4\pi \\\\ -\tfrac{3\pi}{2} & -6\pi & -\tfrac{3\pi}{2}+\pi=-\tfrac{\pi}{2} & 6\pi \end{array}
Desses pontos vemos que a espiral passa sucessivamente por Q II, Q I, Q IV, Q III, sempre se afastando do polo de forma linear.

Passo 5

Concluímos que, para \theta\le0, a curva é uma espiral de Arquimedes que parte do polo em \theta=0 e se expande conforme \theta diminui, girando no sentido horário. A distância ao polo cresce de modo proporcional a |\theta|.

Resposta

A curva é uma espiral de Arquimedes iniciando no polo r=0 em \theta=0 e, à medida que \theta vai para valores negativos, se afasta linearmente do centro, desenhando voltas no sentido horário.

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