Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
r=2 \cos 3 \theta

Passo 1

O enunciado pede: esboçar a curva dada em coordenadas polares pela equação r=2\cos 3\theta.
Informações dadas:
  • A relação entre r e \theta é r=2\cos 3\theta.
  • Espera-se um desenho (esboço) da curva no plano polar para \theta variando normalmente em [0,2\pi) (ou intervalo menor, se a curva se repetir).

Passo 2

Entendendo coordenadas polares (recap rápido e necessário):
  • Em coordenadas polares, um ponto é dado por (r,\theta), com r distância ao polo (origem) e \theta o ângulo medido a partir do eixo polar (eixo x positivo).
  • Relação com coordenadas cartesianas:
x = r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
  • Importante: se r for negativo em alguma \theta, isso representa o ponto com distância |r| na direção \theta+\pi. Em outras palavras, (r,\theta) = (-r,\theta+\pi).

Passo 3

Conhecimento útil sobre equações do tipo r=a\cos(n\theta):
  • Quando n é inteiro:
    • Se n for ímpar, a curva é uma “rosa” com n pétalas.
    • Se n for par, a rosa tem 2n pétalas.
  • O comprimento (comprimento máximo, do polo até a ponta de uma pétala) é |a|.
  • As pétalas aparecem nos ângulos onde \cos(n\theta)=1 (ponta máxima para r>0); zeros (passagens pela origem) acontecem onde \cos(n\theta)=0.

Passo 4

Aplicando ao caso r=2\cos 3\theta:
  • Aqui a=2 e n=3 (ímpar). Logo esperamos 3 pétalas, cada uma de comprimento 2.
  • Ângulos das pontas (onde r atinge 2): resolver \cos 3\theta = 1:
3\theta = 2\pi k \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{2\pi k}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.
Portanto as pontas estão nas direções
\theta = 0,\\ \frac{2\pi}{3},\\ \frac{4\pi}{3}.
  • Ângulos onde a curva passa pelo polo (zeros): resolver \cos 3\theta = 0:
3\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.
Esses ângulos ficam entre as pontas e são os limites angulares de cada pétala.

Passo 5

Descrever como cada pétala aparece enquanto \theta varia:
  • Para \theta em torno de 0: \cos 3\theta>0 para -\frac{\pi}{6}<\theta<\frac{\pi}{6}. Nessa faixa r aumenta de 0 (em \theta=-\frac{\pi}{6}) até 2 (em \theta=0) e volta a 0 (em \theta=\frac{\pi}{6}). Isso desenha uma pétala centrada na direção \theta=0 com comprimento 2.
  • As outras duas pétalas ocorrem de modo análogo em torno de \theta=\frac{2\pi}{3} e \theta=\frac{4\pi}{3}, cada uma para \theta em \left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right) e \left(\frac{4\pi}{3}-\frac{\pi}{6},\frac{4\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right).
  • Onde \cos 3\theta<0 (por exemplo \theta=\frac{\pi}{3}), temos r<0; isso corresponde aos mesmos pontos das pétalas positivas já listadas (efeito de (r,\theta)=(-r,\theta+\pi)), então não cria pétalas novas além das três previstas.

Passo 6

Simetrias e período (ajuda a esboçar com economia de linhas):
  • A função \cos 3\theta tem período \frac{2\pi}{3}, por isso a curva repete-se por rotações de \frac{2\pi}{3}.
  • Como \cos é par, r(\theta)=r(-\theta): a curva é simétrica em relação ao eixo polar ( \theta=0, eixo x).
  • Com n ímpar, a curva inteira é traçada quando \theta varia em [0,\pi]. Portanto, para desenhar, basta traçar \theta de 0 até \pi e as três pétalas aparecerão.

Passo 7

Construção prática do esboço (passo-a-passo para desenhar à mão, sem calculadora):
  1. Desenhar os eixos cartesianos e marcar o polo (origem).
  2. Traçar os três raios-direção \theta=0, \theta=\frac{2\pi}{3} e \theta=\frac{4\pi}{3}. Esses são os eixos centrais das pétalas.
  3. Em cada um desses raios, marcar um ponto a distância 2 do polo (esse é o extremo da pétala).
  4. Entre cada par de raios centrais, marcar os ângulos onde a curva cruza o polo: \theta=\frac{\pi}{6},\\ \frac{\pi}{2},\\ \frac{5\pi}{6},\dots (usar \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}). Essas são as pontas internas (origem).
  5. Desenhar suavemente cada pétala como uma curva que parte do polo, cresce até a ponta (comprimento 2) ao longo do raio central da pétala e volta ao polo, permanecendo dentro do setor angular \pm\frac{\pi}{6} ao redor de cada direção central.
  6. Repetir para as três pétalas; verificar simetria em relação ao eixo x.

Passo 8

Pontos numéricos de referência para confirmar formato (exemplos rápidos):
  • \theta=0\Rightarrow r=2 (ponta da pétala em x=2).
  • \theta=\frac{\pi}{6}\Rightarrow r=0 (origem).
  • \theta=\frac{\pi}{12}\Rightarrow r=2\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} (um ponto intermédio da pétala).
    Esses valores ajudam a traçar a forma correta de cada pétala (cresce suavemente até o máximo e volta).

Passo 9

Resumo visual e observações finais:
  • A curva é uma rosa com exatamente 3 pétalas.
  • Cada pétala tem comprimento máximo 2.
  • Pétalas centradas nas direções \theta=0,\\ \frac{2\pi}{3},\\ \frac{4\pi}{3}.
  • Zeros (passagens pelo polo) em \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}.
  • Simétrica em relação ao eixo polar e repetida por rotação de \frac{2\pi}{3}.

Resposta

Rosa com 3 pétalas de comprimento 2, centradas nas direções \theta=0,\\ \frac{2\pi}{3},\\ \frac{4\pi}{3}; cruzamentos na origem em \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3} e simetria em relação ao eixo polar.

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