Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar a curva dada em coordenadas polares pela equação
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A relação entre
e é . - Espera-se um desenho (esboço) da curva no plano polar para
variando normalmente em (ou intervalo menor, se a curva se repetir).
Passo 2
Entendendo coordenadas polares (recap rápido e necessário):
- Em coordenadas polares, um ponto é dado por
, com distância ao polo (origem) e o ângulo medido a partir do eixo polar (eixo positivo). - Relação com coordenadas cartesianas:
- Importante: se
for negativo em alguma , isso representa o ponto com distância na direção . Em outras palavras, .
Passo 3
Conhecimento útil sobre equações do tipo
:
- Quando
é inteiro: - Se
for ímpar, a curva é uma “rosa” com pétalas. - Se
for par, a rosa tem pétalas.
- Se
- O comprimento (comprimento máximo, do polo até a ponta de uma pétala) é
. - As pétalas aparecem nos ângulos onde
(ponta máxima para ); zeros (passagens pela origem) acontecem onde .
Passo 4
Aplicando ao caso
:
- Aqui
e (ímpar). Logo esperamos pétalas, cada uma de comprimento . - Ângulos das pontas (onde
atinge ): resolver :
Portanto as pontas estão nas direções
- Ângulos onde a curva passa pelo polo (zeros): resolver
:
Esses ângulos ficam entre as pontas e são os limites angulares de cada pétala.
Passo 5
Descrever como cada pétala aparece enquanto
varia:
- Para
em torno de : para . Nessa faixa aumenta de (em ) até (em ) e volta a (em ). Isso desenha uma pétala centrada na direção com comprimento . - As outras duas pétalas ocorrem de modo análogo em torno de
e , cada uma para em e . - Onde
(por exemplo ), temos ; isso corresponde aos mesmos pontos das pétalas positivas já listadas (efeito de ), então não cria pétalas novas além das três previstas.
Passo 6
Simetrias e período (ajuda a esboçar com economia de linhas):
- A função
tem período , por isso a curva repete-se por rotações de . - Como
é par, : a curva é simétrica em relação ao eixo polar ( , eixo ). - Com
ímpar, a curva inteira é traçada quando varia em . Portanto, para desenhar, basta traçar de até e as três pétalas aparecerão.
Passo 7
Construção prática do esboço (passo-a-passo para desenhar à mão, sem calculadora):
- Desenhar os eixos cartesianos e marcar o polo (origem).
- Traçar os três raios-direção
, e . Esses são os eixos centrais das pétalas. - Em cada um desses raios, marcar um ponto a distância
do polo (esse é o extremo da pétala). - Entre cada par de raios centrais, marcar os ângulos onde a curva cruza o polo:
(usar ). Essas são as pontas internas (origem). - Desenhar suavemente cada pétala como uma curva que parte do polo, cresce até a ponta (comprimento
) ao longo do raio central da pétala e volta ao polo, permanecendo dentro do setor angular ao redor de cada direção central. - Repetir para as três pétalas; verificar simetria em relação ao eixo
.
Passo 8
Pontos numéricos de referência para confirmar formato (exemplos rápidos):
-
(ponta da pétala em ). -
(origem). -
(um ponto intermédio da pétala).
Esses valores ajudam a traçar a forma correta de cada pétala (cresce suavemente até o máximo e volta).
Passo 9
Resumo visual e observações finais:
- A curva é uma rosa com exatamente
pétalas. - Cada pétala tem comprimento máximo
. - Pétalas centradas nas direções
. - Zeros (passagens pelo polo) em
. - Simétrica em relação ao eixo polar e repetida por rotação de
.
Resposta
Rosa com
pétalas de comprimento
, centradas nas direções
; cruzamentos na origem em
e simetria em relação ao eixo polar.