Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
r=\ln \theta, \quad \theta \geq 1

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r=\ln \theta,\qquad \theta\ge 1,
e pede um esboço (uma descrição gráfica) da curva. Informações que temos explicitamente:
  • A variável angular é \theta e está restrita a \theta\ge 1.
  • O raio polar r é a função r(\theta)=\ln\theta.
    O objetivo é entender o formato da curva, seu ponto inicial, comportamento para \theta próximos de 1 e para \theta\to\infty, e dar instruções práticas para desenhar o esboço.

Passo 2

Noções básicas necessárias (recapitulando devagar, como se estivéssemos desenhando juntos):
  • Em coordenadas polares um ponto do plano é dado por (r,\theta) com coordenadas cartesianas
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
  • Aqui r=\ln\theta. Note que para \theta\ge 1 temos \ln\theta\ge 0, logo r\ge 0. Não precisamos nos preocupar com r<0 (que inverteria a direção do ângulo).
  • O ponto onde r=0 ocorre quando \ln\theta=0, ou seja em \theta=1. Portanto a curva passa pela origem exatamente no ângulo \theta=1.

Passo 3

Avaliar alguns pontos-chave (esses números ajudam a posicionar o traçado):
  • Para \theta=1 temos r=\ln 1=0. Ponto: origem.
  • Para \theta=\mathrm{e}^{1/2} (isto é \theta\approx 1{,}6487) temos r=\tfrac{1}{2}. Assim
x=\tfrac{1}{2}\cos(1{,}6487),\qquad y=\tfrac{1}{2}\sin(1{,}6487).
  • Para \theta=\mathrm{e} (isto é \theta\approx 2{,}7183) temos r=1. O ponto está a distância 1 do origem, no ângulo \theta\approx 2{,}7183\\ \text{rad} (≈ 155{,}8^\circ).
  • Para \theta=\mathrm{e}^2 (isto é \theta\approx 7{,}3891) temos r=2. Note que \theta\approx 7{,}3891 é maior que 2\pi ( 2\pi\approx 6{,}2832), então esse ponto está mais de uma volta completa: a sua direção efetiva é \theta-2\pi\approx 1{,}106\\ \text{rad} (≈ 63{,}4^\circ) e raio 2.
Esses pontos mostram que conforme \theta cresce, o ângulo aumenta continuamente e o raio também aumenta, mas de forma lenta (logarítmica).

Passo 4

Analisar o crescimento e a inclinação da curva:
  • A derivada radial é
\frac{dr}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}(\ln\theta)=\frac{1}{\theta},
que é positiva para \theta\ge 1 e decresce quando \theta aumenta. Conclusão: r é crescente (o raio aumenta) e a taxa de aumento por unidade de ângulo vai diminuindo.
  • Comportamento para \theta\to 1^+: usando a expansão de Taylor \ln\theta\approx \theta-1 quando \theta está perto de 1. Assim próximo a \theta=1 tem-se r\approx \theta-1. Como r(1)=0 e r'(1)=1\ne 0, a curva passa pela origem com tangente na direção do raio \theta=1. Em palavras: o ramo começa no origem apontando na reta cujo ângulo com o eixo x é 1 rad.
  • Comportamento para \theta\to\infty: \ln\theta\to\infty, logo o raio cresce sem limite, embora lentamente. Isso significa que a curva faz giros indefinidos (ângulo cresce) enquanto se afasta cada vez mais do centro — é uma espiral.

Passo 5

Sobre auto-interseções e simplicidade da curva:
  • Um possível modo de ter auto-interseção em coordenadas polares seria ter valores \theta_1\ne\theta_2 com o mesmo ponto cartesiano. Como aqui r(\theta)=\ln\theta é monotonicamente crescente, não existem \theta_1\ne\theta_2 com \ln\theta_1=\ln\theta_2. E como r\ge 0, não há ambiguidade de trocar sinal de r para representar o mesmo ponto. Portanto a curva não se auto-intersecta: é uma espiral simples (cada volta fica mais afastada das anteriores).
  • Intuitivamente: a cada aumento de \theta a curva gira e fica um pouco mais distante do centro, nunca voltando exatamente a um ponto anterior.

Passo 6

Instruções práticas para esboçar (passo a passo no papel):
  1. Marque o ângulo \theta=1 rad (≈ 57{,}3^\circ). Nesse raio, coloque o ponto inicial na origem (porque r(1)=0).
  2. Para \theta um pouco maior que 1 (por exemplo \theta\approx 1{,}65), marque um ponto perto da origem com raio r\approx 0{,}5 na direção do ângulo \theta.
  3. Para \theta\approx 2{,}72 ( \approx\mathrm{e}) marque um ponto a distância 1 do centro na direção \theta (esse estará no quadrante II).
  4. Continue aumentando \theta; após ultrapassar 2\pi (uma volta), o ângulo efetivo roda de volta, mas r será maior — por exemplo em \theta=\mathrm{e}^2 tem-se r=2 e direção efetiva \theta-2\pi\approx 1{,}106 rad (≈ 63{,}4^\circ), portanto um ponto mais distante alinhado aproximadamente com esse ângulo. Ligue suavemente os pontos: obterá uma espiral que sai da origem em \theta=1 e se abre girando para fora.
  5. Lembre-se: a separação radial entre voltas aumenta muito lentamente porque r cresce como \ln\theta. Então as voltas ficam “apertadas” por muito tempo, mas vão abrindo pouco a pouco.

Passo 7

Resumo qualitativo final (como deve aparecer no esboço):
  • A curva é uma espiral simples (sem auto-interseção) que começa na origem em \theta=1.
  • Tem tangente inicial na direção do raio \theta=1.
  • Para \theta>1 o raio aumenta monotonamente segundo \ln\theta, muito devagar, e a curva gira indefinidamente enquanto se afasta do centro.
  • Pontos de referência úteis: (\theta,r)=(1,0), (\mathrm{e}^{1/2},\tfrac{1}{2}), (\mathrm{e},1), (\mathrm{e}^2,2).

Resposta

Espiral simples que parte da origem em \theta=1 (pois \ln 1=0), com tangente inicial na direção \theta=1; para \theta>1 o raio cresce lentamente segundo r=\ln\theta (dr/d\theta=1/\theta>0), de modo que a curva gira indefinidamente afastando-se do centro sem se auto-intersectar. Pontos de referência: (\theta,r)=(1,0), (\mathrm{e}^{1/2},\tfrac{1}{2}), (\mathrm{e},1), (\mathrm{e}^2,2).

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