Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e pede um esboço (uma descrição gráfica) da curva. Informações que temos explicitamente:
- A variável angular é
e está restrita a . - O raio polar
é a função .
O objetivo é entender o formato da curva, seu ponto inicial, comportamento parapróximos de e para , e dar instruções práticas para desenhar o esboço.
Passo 2
Noções básicas necessárias (recapitulando devagar, como se estivéssemos desenhando juntos):
- Em coordenadas polares um ponto do plano é dado por
com coordenadas cartesianas
- Aqui
. Note que para temos , logo . Não precisamos nos preocupar com (que inverteria a direção do ângulo). - O ponto onde
ocorre quando , ou seja em . Portanto a curva passa pela origem exatamente no ângulo .
Passo 3
Avaliar alguns pontos-chave (esses números ajudam a posicionar o traçado):
- Para
temos . Ponto: origem. - Para
(isto é ) temos . Assim
- Para
(isto é ) temos . O ponto está a distância do origem, no ângulo (≈ ). - Para
(isto é ) temos . Note que é maior que ( ), então esse ponto está mais de uma volta completa: a sua direção efetiva é (≈ ) e raio .
Esses pontos mostram que conforme
cresce, o ângulo aumenta continuamente e o raio também aumenta, mas de forma lenta (logarítmica).
Passo 4
Analisar o crescimento e a inclinação da curva:
- A derivada radial é
que é positiva para
e decresce quando
aumenta. Conclusão:
é crescente (o raio aumenta) e a taxa de aumento por unidade de ângulo vai diminuindo.
- Comportamento para
: usando a expansão de Taylor quando está perto de . Assim próximo a tem-se . Como e , a curva passa pela origem com tangente na direção do raio . Em palavras: o ramo começa no origem apontando na reta cujo ângulo com o eixo é rad. - Comportamento para
: , logo o raio cresce sem limite, embora lentamente. Isso significa que a curva faz giros indefinidos (ângulo cresce) enquanto se afasta cada vez mais do centro — é uma espiral.
Passo 5
Sobre auto-interseções e simplicidade da curva:
- Um possível modo de ter auto-interseção em coordenadas polares seria ter valores
com o mesmo ponto cartesiano. Como aqui é monotonicamente crescente, não existem com . E como , não há ambiguidade de trocar sinal de para representar o mesmo ponto. Portanto a curva não se auto-intersecta: é uma espiral simples (cada volta fica mais afastada das anteriores). - Intuitivamente: a cada aumento de
a curva gira e fica um pouco mais distante do centro, nunca voltando exatamente a um ponto anterior.
Passo 6
Instruções práticas para esboçar (passo a passo no papel):
- Marque o ângulo
rad (≈ ). Nesse raio, coloque o ponto inicial na origem (porque ). - Para
um pouco maior que (por exemplo ), marque um ponto perto da origem com raio na direção do ângulo . - Para
( ) marque um ponto a distância do centro na direção (esse estará no quadrante II). - Continue aumentando
; após ultrapassar (uma volta), o ângulo efetivo roda de volta, mas será maior — por exemplo em tem-se e direção efetiva rad (≈ ), portanto um ponto mais distante alinhado aproximadamente com esse ângulo. Ligue suavemente os pontos: obterá uma espiral que sai da origem em e se abre girando para fora. - Lembre-se: a separação radial entre voltas aumenta muito lentamente porque
cresce como . Então as voltas ficam “apertadas” por muito tempo, mas vão abrindo pouco a pouco.
Passo 7
Resumo qualitativo final (como deve aparecer no esboço):
- A curva é uma espiral simples (sem auto-interseção) que começa na origem em
. - Tem tangente inicial na direção do raio
. - Para
o raio aumenta monotonamente segundo , muito devagar, e a curva gira indefinidamente enquanto se afasta do centro. - Pontos de referência úteis:
, , , .
Resposta
Espiral simples que parte da origem em
(pois
), com tangente inicial na direção
; para
o raio cresce lentamente segundo
(dr/d\theta=1/\theta>0), de modo que a curva gira indefinidamente afastando-se do centro sem se auto-intersectar. Pontos de referência:
,
,
,
.