Esboce a curva e determine a área da região por ela delimitada.
r=2+2 cos theta

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = 2 + 2costheta
e pede (a) um esboço dessa curva e (b) a área da região que ela delimita. O conteúdo necessário é curvas em coordenadas polares e o cálculo de área em polares, usando a fórmula
A = 12 integralalpha^beta r^2 ,dtheta

Passo 2

Para esboçar, observe que é uma limaçon especial (cardióide), pois os coeficientes de 1 e de costheta em r=2+2costheta são iguais. Vamos achar alguns pontos-chave:
– Em theta=0, ,r=2+2cdot1=4.
– Em theta=tfracpi2, ,r=2+2cdot0=2.
– Em theta=pi, ,r=2+2cdot(-1)=0 (cúspide na origem).
– Em theta=tfrac3pi2, ,r=2+2cdot0=2.
A curva é simétrica em relação ao eixo horizontal ( theta=0), tem ponta no r=0 em theta=pi e atinge r=4 em theta=0. Com isso você faz um esboço em forma de coração invertido apontando para a esquerda.

Passo 3

Agora, para a área, aplicamos a fórmula em todo o intervalo [0,2pi]:
A = 12 integral0^2pi l(2 + 2costhetar)^2 ,dtheta

Passo 4

Expandindo o integrando:
l(2 + 2costhetar)^2 = 4 + 8costheta + 4cos^2theta = 4 + 8costheta + 4cdot1+cos2theta2 = 6 + 8costheta + 2cos2theta
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A = 12 integral0^2pi l(6 + 8costheta + 2cos2thetar),dtheta

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral0^2pi6,dtheta = 12pi, integral0^2pi8costheta,dtheta = 0, integral0^2pi2cos2theta,dtheta = 0
Portanto
A = 12 cdot 12pi = 6pi

Resposta

A área da região delimitada por r=2+2costheta é 6pi.

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