Esboce a curva e determine a área da região por ela delimitada.
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e pede (a) um esboço dessa curva e (b) a área da região que ela delimita. O conteúdo necessário é curvas em coordenadas polares e o cálculo de área em polares, usando a fórmula
Passo 2
Para esboçar, observe que é uma limaçon especial (cardióide), pois os coeficientes de
e de
em
são iguais. Vamos achar alguns pontos-chave:
– Em ,
.
– Em ,
.
– Em ,
(cúspide na origem).
– Em ,
.
A curva é simétrica em relação ao eixo horizontal ( ), tem ponta no
em
e atinge
em
. Com isso você faz um esboço em forma de coração invertido apontando para a esquerda.
– Em
– Em
– Em
– Em
A curva é simétrica em relação ao eixo horizontal (
Passo 3
Agora, para a área, aplicamos a fórmula em todo o intervalo
:
Passo 4
Expandindo o integrando:
Logo
Passo 5
Integramos termo a termo:
Portanto
Resposta
A área da região delimitada por
é
.